A modellezés célja:

A modell típusának kiválasztása, vagyis szimuláció vagy irányítás a cél, során figyelembe kell venni az alábbi szempontokat:

Szimulációs cél esetén a rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása az irányadó. A bonyolultságnak csak a futtatási idővel szemben támasztott követelmények szabnak határt. Irányítási cél esetén csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják. A bonyolultságnak az elérhető irányítástervezési eljárások lehetőségei szabnak gátat.

A modell jellege a modellezésnél használt módszerek és eszközök függvénye. Ezzel összefüggésben a modellezés kiindulási pontjai szerint a valós fizikai rendszerről szerzet információk forrásai lehetnek elméleti ismeretek illetve gyakorlati ismeretek és feltevések. Az elméleti ismeretek sorába tartoznak az egyes jelenségekről alkotott (fizikai, kémiai, stb.) elméletek által szolgáltatott leírások, amelyek általában (közönséges/parciális) differenciálegyenletek formájában öltenek testet. A gyakorlati ismeretek a rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összessége, az elméleti modellekben szereplő egyes paraméterek mért értékeinek ismerete. A feltevések sorába tartozik az alkalmazott modell megbízhatóságáról, érvényességi tartományáról alkotott vélemény.

Osztályozhatjuk még a modellezésnél felhasznált információt azok dinamikája szerint. Így megkülönböztethetünk statikus és dinamikus ismereteket: a statikus ismeretek jellegüknél fogva magukba foglalják a törvények (egyenletek) típusait, a struktúra -- állapotok, egyenletek, tagok -- számát illetve paraméterek (együtthatók) értékének ismeretét. A dinamikus ismeret az időbeli működés leírására koncentrál.

A felhasznált információ forrása lehet a priori: ilyen például az előzetes elemzés, a kapcsolatok feltárása, a modellezés céljának és a pontossági igényeknek meghatározása, a modell típusának megválasztása. Ha ez a forrás a posteriori, akkor a feladat a rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött információ alapján a modell megalkotása és pontosítása, illetve a modell megbízhatósági/érvényességi tartományának vizsgálata. Általában ekkor beszélünk modell identifikációról és validációról. Amikor a struktúra nem, vagy csak részben, adott struktúra-identifikációról, míg ha a struktúra adott akkor paraméter-identifikációról beszélünk.

A lehetséges modellosztályokat tekintve megkülönböztethetünk statikus és dinamikus modelleket: statikus modell időben nem változó állapotot ír le: a rendszer állapotát algebrai egyenletekkel, vagy idő szerinti deriváltakat nem tartalmazó (parciális) differenciál-egyenletekkel írható le. Elterjedt még a stacionárius, állandósult, illetve egyensúlyi modell kifejezés is. A dinamikus modell a vizsgált rendszer, folyamat jellemzőinek időbeni változását írja le, ami legtöbbször egy közönséges vagy parciális differenciálegyenlet, vagy egyenletrendszer. Lehetséges, hogy a tárgyalás nem az időtartományában, hanem valamely célszerűen megválasztott transzformált tartományában (frekvencia tartomány) valósul meg.

Az egyik legfontosabb osztályozó elv a lineáris illetve nemlineáris viselkedés megkülönböztetése: lineáris modell esetén a folyamatot leíró egyenletrendszer kielégíti a szuperpozíció elvét. A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. Egy nemlineáris modell használatakor a rendszerben lejátszódó folyamatot leíró egyenletek legalább egyike nemlineáris függvényt is tartalmaz. A nemlineáris modellek az egyszerűbb vizsgálat és tervezés érdekében valamilyen linearizálási eljárással lineáris modellekké alakíthatók át.

A modellben szereplő jelek természete szerint modellezhetünk folytonos illetve diszkrét időben: folytonos idejű modell esetén a modellezett rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel valamilyen értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű/folytonos állapotterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. A diszkrét idejű modellben a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Diszkrét paraméterű/diszkrét állapotterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel.

A modellek ezen kívül még lehetnek determinisztikus vagy sztochasztikusak: determinisztikus modell esetén a modellekben szereplő jellemzők, valamint maguk a változók egyértelmű függvényekkel térben és időben egyaránt megadhatók. Sztochasztikus modell esetén a modellek jellemzői csak bizonyos valószínűségi összefüggések felhasználásával adhatók meg.

A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazza meg:

ahol a kinetikai (mozgási) energia, a potenciális (helyzeti) energia, a disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia és egy külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg:

A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz komponensre felírva:

Példa 1.1

Példaként az 1. ábrán látható két tömegű lengőrendszer modelljét írjuk fel. A lengőrendszer komponensei: az és tömegek, a és rugók, valamint a csillapítás. A rendszert a elmozdulás gerjeszti, ennek hatására a két tömeg elmozdulása és .

2.1. ábra - Kéttömegű lengőrendszer

A modellezési feladat megoldása: első lépésében írjuk fel a Lagrange egyenlet komponenseit:

• Kinetikus energia egy tömegre: a

formula alapján a rendszer két tömegére

adódik.

• Potenciális energia egy tömegre:

ezért a rendszerre:

adódik.

• Disszipációs energia a rendszerre:

A számítási műveletek az egyes komponensekre ( és ) bontott alakban a következők:

Végül a két tömegű lengőrendszer modellje a Lagrange egyenlet alapján:

Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával.

Egy lineáris időinvariáns rendszer modelljének leírása lineáris, állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik:

ahol és együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. Tekintsük a differenciálegyenlet Laplace transzformáltját ( - transzformált) zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:

ahol .

A racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett - transzformáltjainak hányadosa.

Az alábbiakban néhány alaptag átviteli függvényét írjuk fel.

• Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenciálhányadosai.

• Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differenciálhányadosa szerepel.

• Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel.

• Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhányadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Ez a tag biztosítja a rendszerben lévő további dinamikák formalizálását.

Példa 1.2

Tekintsük a 1.2 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt, melynek adatai a következők: , , k=. Írjuk fel a mechanikai rendszer modelljét.

2.2. ábra - Gépjármű felfüggesztés modellje

A feladat megoldása: A rendszer differenciálegyenlete:

Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval:

Végül az átviteli függvény

formában adódik.

A modell rendszerint egy differenciálegyenlet formájában ölt testet. Irányításelméleti alkalmazásokban ezek közönséges differenciálegyenletek, vagy darabonként közönséges differenciálegyenletek (kapcsolt rendszerek, impulzív rendszerek).

Amikor a teljes modellt a priori ismeretek alapján állítjuk fel, amik lehetnek fizikai elvek (Hamilton, Lagrange formalizmus, megmaradási elvek, mérlegegyenletek), akkor fehér doboz (white-box) modellezésről beszélünk. A módszer előnye, hogy a modell fizikai paramétereinek valós tartalma, jelentése van, hátránya viszont, hogy a modell felépítése általában rendkívül bonyolult. Ezen túlmenően a modell-bizonytalanságok kezelése is eléggé problematikus.

Ennek ellenpontja a fekete doboz (black-box) modellezés, amikor is a modell felállításához csak kísérletekkel, mérésekkel lehet információkat szerezni. Ilyen információ forrása lehet például a vizsgálójelekre adott rendszerválaszok (például az átmeneti függvény) elemzése. Elsősorban lineáris időinvariáns (LTI) rendszermodellek esetén használatos. Ha nincs más alapinformáció, akkor kiindulásként, mint matematikai modell, például polinommal történő közelítést biztosító egyenleteket lehet felhasználni. Az black-box modellek lényeges előnye a viszonylagos egyszerűségük; hátrányuk viszont, hogy a paramétereknek általában nincs valós fizikai jelentése.

E két véglet között helyezkedik el a szürke doboz (grey-box) modellezés, ami az előző két módszer kombinációja. Főleg nemlineáris jelenségek modellezésére használatos. Ekkor a struktúra adott -- de nem feltétlenül valamiféle egzakt levezetés eredménye. A (sztatikus) nemlinearitások leírásakor gyakran heurisztikus ismeretek épülnek be a modellbe. A műszaki gyakorlatban legtöbbször ez az eset fordul elő. Hátránya az, hogy a struktúra és a parametrizálás általában nem örződik meg a szokásos diszkretizálási eljárásokban.

Példaként tekintsük az úgynevezett kvázi változó paraméterű lineáris (qLPV) modellezést és paraméterezés: gyakran az

nemlineáris rendszert az

alakban szeretnénk felírni. Ez az átírás azonban általában nem egyértelmű:

ahol

Példa 1.3

ahol

Amikor a rendszer modelljének konstruálása a bemenőjelek és a kimenő jelek mért (mintavételezett) adatai alapján történik, az eljárást modell identifikációnak nevezzük. A mért jelek közötti kapcsolat az alábbi alakban írható fel:

ahol az úgynevezett eltolás operátor, modell leírja a rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot, azaz a mintavételezett rendszer átviteli függvényét.

2.3. ábra - Identifikálandó modell

Egy zajjal terhelt lineáris időinvariáns rendszer modelljét mutatja a 4 ábra. A zajos rendszer modellje:

ahol eltolás operátor, zaj (zavarás).

2.4. ábra - Zajjal terhelt modell

A rendszeridentifikáció végrehajtása több lépésben történik:

A rendszermodell általános alakja:

ahol átviteli függvény és az eltolás operátor. Például:

ahol és polinomok az eltolás operátor szerint a következő alakúak:

A modell ARX struktúrája

ahol

A modell struktúráját a kimenet korábbi kimeneteinek száma, a korábbi bemenetek száma és a bemenőjel eltolása határozza meg:

ahol a modell paraméterei. Átrendezve:

A paraméterbecslés eredménye:

ahol a modell becsült paraméterei. A paraméterbecslés modellje kifejtve a következő:

A modell alapján a kimenőjel -edik értékére becslés adható:

Az előrejelzés hibája:

minden -re.

Az n-edrendű ARX modell alakja:

Vezessük be a következő jelölést:

ahol a mért jelek, a paraméterek halmaza. A kimenőjel:

A modell kompakt alakja:

ahol

Az LS becslés azt a paramétervektort keresi, amelynél az hiba négyzetösszege a legkisebb. Az LS kritériumot a következő alakban definiáljuk:

ami skaláris szorzat alakban is felírható:

ahol a paramétereket tartalmazó vektor. Az LS becslés egy optimalizáló eljárás, melynek során a paraméterbecslési eljárás eredményét a következő költségfüggvény minimalizálásával kapjuk:

Az LS kritérium kifejtve:

A minimum parciális deriválttal számítható:

Az optimális megoldás:

amit az LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük.

A gyakorlati alkalmazásokból ismert tény, hogy a becslési hiba az idő fügvényében egyre nagyobb értékeket vesz fel. Ezért a becslési hiba súlyozását is érdemes bevinni a kritériumba.

ahol , illetve súlyozó tényező. Abban a tartományban, ahol nagyra választjuk, a becslés pontosabb lesz, mint ahol kisebbre választjuk. A normálalak összefüggése a következőképpen változik.

Ezt a kifejezést a súlyozott LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük.

A becsült modell validáció vizsgálatára a gyakorlatban elterjedt módszer a hiba statisztikai vizsgálata, amikor is olyan kérdésekre várunk választ, mint: milyen a mért jel előrejelzett jellel való illesztése, illetve mennyire mondható el az jelről a fehérzaj tulajdonság.

Az identifikált modell tulajdonságait a rendszer tulajdonságaival való összehasonlítása. A vizsgálat mind idő, mind frekvenciatartományban elvégezhető.

Példa 1.4

Tegyük fel, hogy adott egy paramétereiben nem ismert másodfokú rendszer.

ahol , és .

2.5. ábra - Mért bemenő és kimenő jelek

Tegyük fel, hogy a másodfokú rendszer bemenő és kimenő jeleit lépésenként mérjük. A mért mintát illusztrálja a 1.4 ábra.

A feladat megoldása: A modellt s következő ARX struktúrában keressük:

ahol és . A paraméterbecslést legkisebb négyzetes módszerrel hajtjuk végre.

Kiszámítjuk az előrejelzett kimenetet és ezt a mért kimenethez hasonlítjuk. Elvégezzük a hiba kimenet (reziduál) elemzését.

2.6. ábra - Becslési hiba elemzése

Hiba átlag: , szórás: . A modell által generált jel és a mért jel illesztése az eltérés jelével együtt a 1.4 ábrán látható.

A rendszer állapota egy időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az , bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden időpontra meghatározható.A rendszer válasza a jövőbeli, időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük.

Példa 2.1

Tekintsük az alábbi felfüggesztési rendszert. Az erő hatására az tömeg függőleges irányban () elmozdul. Írjuk fel az erő és az elmozdulás közötti kapcsolatot. A feladat numerikus adatai: , , .

3.1. ábra - Lengő rendszer modellje

A feladat megoldása: A rendszer differenciálegyenlete:

Állapotváltozók megválasztásának egy természetes módja a következő:

Ezzel a választással az állapotegyenletek alakja:

míg az állapottér reprezentáció:

Természetesen egy másik állapottér megválasztás is lehetséges:

Ezzel a választással az állapotegyenletek alakja

a hozzá tartozó állapottér reprezentáció pedig:

Fentiek alapján látható, hogy a bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat állapottér reprezentációja többféle alakban felírható és az állapottér alakja nem egyértelmű.

Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. A homogén egyenlet alakja:

az kezdeti feltétellel és megoldása:

ahol az mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük:

Például diagonál reprezentációk esetén, azaz () választással ennek alakja:

Az inhomogén egyenlet alakja:

ahol egyenlet megoldása a következő:

A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása:

Példa 2.2

Határozzuk meg a rendszer válaszát egységugrás bemenet esetén.

A feladat megoldása:

1. lépés A homogén rész megoldása:

A példában:

A homogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik:

2. lépés Az inhomogén rész megoldása zérus kezdeti érték feltételezésével:

A példában:

Az inhomogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik:

A teljes megoldás:

Ha a kezdeti értékek zérusok, azaz és :

Ha a kezdeti értékek egységnyiek, azaz és , akkor:

zérus kezdeti értékeknem zérus kezdeti értékek

3.2. ábra - Átmeneti függvények különböző kezdeti értékek esetén

3.1.2. Irányíthatósági állapottér reprezentációk

Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentáció a 9 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel:

(113)

(114)

3.3. ábra - Az irányíthatósági alak illusztrációja

Induljunk ki egy általános rendszerből, melynek átviteli függvényét az alábbi alakban fogalmaztuk meg:

(115)

ahol és polinomiális függvények, például és . A bemenőjel Laplace transzformáltja és a kimenőjel Laplace transzformáltja közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk:

(116)

Vezessük be a változót az alábbi módon:

(117)

Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel Laplace transzformáltja:

(118)

(119)

Inverz Laplace transzformációval a differenciálegyenlet:

(120)

Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk:

(121)

Figyelembe véve, hogy és , az alábbi elsőrendű differenciál egyenletekhez jutunk, melyek az állapotdinamika egyenletrendszerét alkotják:

(122)

(123)

Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg. Ez az úgynevezett megfigyelési egyenlet.

(124)

Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva:

(125)

(126)

ahol

(127)

Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági alak egyértelműségét. Induljunk ki az (125)-(126) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt:

(128)

Az átviteli függvény alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak egyértelműen felírható. Az mátrix első sorának elemei az átviteli függvény nevezőjének együtthatóiként, míg a vektor elemei az átviteli függvény számlálójának együtthatóiként jelennek meg.

3.1.4. Diagonális állapottér reprezentációk

Az diagonális alakú állapottér reprezentáció a 10 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel:

(137)

(138)

3.4. ábra - A diagonális alak illusztrációja

Tegyük fel, hogy adott egy rendszer kimenete az átviteli függvényének parciális tört alakú felbontásával:

(139)

ahol , az karakterisztikus egyenlet gyökei, , pedig a , gyökökhöz (a átviteli függvény pólusaihoz) tartozó rezidumok:

(140)

(141)

Megjegyezzük, hogy ennél a felírásnál és konvex pólusok is lehetnek. Vezessük be új változóként az , változókat, melyekre

(142)

(143)

(144)

amiből az alábbi egyenletek írhatók fel:

(145)

(146)

Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva:

(147)

(148)

ahol az jelölésben a index az mátrix diagonális alakjára utal,

(149)

Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben a diagonális alak egyértelműségét. Induljunk ki az (147)-(148) kétállapotú általános leírásból. Mivel sem sem alakjára nézve nincs megkötés, ezért ezeket válasszuk meg a következőképpen:

(150)

Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt:

(151)

Az átviteli függvény alapján látható, hogy a diagonális alak felírása nem egyértelmű. Habár az átviteli függvény nevezője alapján egyértelműen felírható (a pólusok sorrendjének megválasztásától eltekintve), és elemeinek megválasztása nem egyértelmű.

Példa 2.3

Határozzuk meg a 1.2 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modelljét irányíthatósági alakban. A feladata numerikus adatai: , , k=.

A feladat megoldása: a 1.2 példa megoldása alapján induljunk ki az átviteli függvény alakból:

(152)

Vezessünk be egy új változót:

(153)

Inverz Laplace transzformációval:

(154)

Az állapotváltozókat a deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: és . Ekkor az állapotok deriváltjai: és . A kimeneti jel: . Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban:

(155)

(156)

Állapot megfigyelhetőség: adott . Mi a feltétele annak, hogy az állapotokat minden a időpontra meghatározhassuk a rendszer jövőbeli input és output függvényeinek ismeretében?

Definíció 2.1

Az mátrixot a rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük.

Tétel 2.1 Kálmán-féle rangfeltétel

Egy pár megfigyelhető akkor és csak akkor, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz

Állapot irányíthatóság: adott , és a időpontban. Mi a feltétele annak, hogy találjunk olyan , irányítást, amely a rendszert véges idő alatt az állapotból egy tetszőleges , állapotba vigye?

Definíció 2.2

Az mátrixot a diszkrét idejű rendszer irányíthatósági mátrixának nevezzük.

Tétel 2.2 Kálmán-féle rangfeltétel

Egy pár akkor és csak akkor irányítható, ha irányíthatósági mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz

Definíció 2.3

Egy rendszer állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető, azaz

A minimál reprezentációkhoz tartozó állapotér dimenziója a legkisebb az összes olyan állapottér reprezentációkat tekintve, amelyekre

ahol a rendszer átviteli függvénye.

Kálman féle dekompozíció: az irányíthatóság és megfigyelhetőség koncepciója lehetővé teszi, hogy megértsük egy lineáris rendszer struktúráját.

Lineáris rendszerek négy alrendszerre bonthatók:

(a) irányítható és megfigyelhető

(b) irányítható és nem megfigyelhető

(c) nem irányítható és megfigyelhető

(d) nem irányítható és nem megfigyelhető

Példa 2.5

Vizsgáljuk az alábbi diagonális állapottér reprezentáció megfigyelhetőségét és irányíthatóságát:

A feladat megoldása: a megfigyelhetőségi mátrix alakja:

A rangfeltételt a következőképp vizsgálhatjuk: akkor, ha . Az adott feladatban: , azaz a megfigyelhetőség teljesül, ha akkor és csak akkor, ha .

Az irányíthatósági mátrix:

Az irányíthatósági mátrix rangja éppen ha

azaz

Példa 2.6

Vizsgáljuk meg az alábbi állapottér reprezentációval adott rendszer irányíthatóságát és megfigyelhetőségét.

A feladat megoldása: Írjuk fel az irányíthatósági mátrixot:

Megfigyelhetőség ellenőrzése: egy mátrix rangja elemi mátrixműveletekkel vizsgálható. A teljes rang vizsgálata a mátrix determinánsának kiszámításával is meghatározható: . A rendszer tehát irányítható. Írjuk fel a megfigyelhetőségi mátrixot:

Mivel , ezért a rendszer megfigyelhető.

Definíció 3.1 (Súlyfüggvény)

A bemenőjel -- kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük.

A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

Definíció 3.2

A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk:

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük.

Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény () Laplace transzformáltja: . Emiatt .

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény () Laplace transzformáltja: .Emiatt .

Példa 3.1

Írjuk fel a 3.1 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét.

4.1. ábra - Lengőrendszer modellje

Az átviteli függvény Laplace transzformációval:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: Súlyfüggvény számítása

Komplex pólusok esetén ( és ) további számítások szükségesek:

Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó Euler összefüggést. Átmeneti függvény számítása:

Komplex pólusok esetén ( és ) további számítások szükségesek:

Komplex pólusok esete: az adatok: , , .

Két komplex konjugált pólus van: a és. A súlyfüggvény és az átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

4.2. ábra - A 3.1 példa megoldása komplex pólusok esetén

Valós pólusok esetén az adatok: , , .

Valós pólusai vannak: és . A súlyfüggvény és átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

4.3. ábra - A 3.1 példa megoldása valós pólusok esetén

Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.

4.4. ábra - Frekvencia függvény illusztrációja

Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája .

A kimenőjel:

Az függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást jelentő függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel körfrekvenciájától függ.

Az amplitudó függvény a függvény abszolút értékeként kapható:

a fázisfüggvény pedig fázisfüggvényeként:

Legyen egy rendszer átviteli függvénye:

A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel körfrekvenciával: .

A -transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét.

Időtartományba transzformálva:

Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket:

Megjegyzés 3.1 Egy komplex szám exponenciális alakja ahol és .

Alkalmazva az összefüggést:

ahol .

majd felhasználva az Euler-összefüggést ():

a kimenőjelre a következő adódik:

A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg.

Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy

ahol Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú szinuszos lefolyású bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a függvény méri.

Definíció 3.3

Nyquist diagram A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó függvény segítségével, ahol az hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist -- diagramnak nevezzük.

Definíció 3.4

Bode diagram A frekvencia függvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az

amplitúdó függvényt a függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen szerepel. Ebben az esetben a

fázisfüggvényt külön diagramban, a függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode -- diagramjának nevezzük.

Példa 3.2

A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.)

eset (valós pólusok):

4.5. ábra - 2TP tag frekvencia diagramjai valós pólusok esetén

A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot.

Komplex pólusok esete: eset (komplex pólusok):

Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét:

Ha a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg esetén a pontos és a közelítő érték -nél megegyezik.

eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a -től függ:

4.6. ábra - 2TP tag frekvencia diagramjai komplex pólusok esetén

A 3.2 ábra változó különböző értékeinek hatását illusztrálja az amplitúdó és fázisgörbe függvényekben.

4.7. ábra - hatása a Bode diagramra

Példa 3.3

Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. A frekvencia függvény:

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: . Frekvencia diagramok valós pólusok esetén: Adatok: , , .

Valós pólusai vannak: és . Időállandók: és .

4.8. ábra - A 3.3 példa megoldása valós pólusok esetén

Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén: A numerikus adatok: , , .

Két komplex konjugált pólus van: . Az időállandó és a csillapítási együttható: és .

4.9. ábra - A 3.3 példa megoldása komplex pólusok esetén

Tekintsünk egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele , , kimenőjele pedig , . Adott a rendszer súlyfüggvénye, illetve ennek -transzformáltja: . A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétele mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg:

Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha gerjesztés éri a rendszert, és az valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, milyen feltételek esetén rendelkezik a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal.

Tétel 4.1 Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha

(a) A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható,

(b) A rendszer átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz

ahol a pólusa.

(c) A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz

Példa 4.1

Az inverz inga egy tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek tömege a rúd felső végére van redukálva.

5.1. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

A feladat megoldása: A rúd szögelfordulása a következőképpen függ az gerjesztő erőtől:

Az átviteli függvény pólusai:

A pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga labilis.

Példa 4.2

A p paraméter milyen értékei esetén lesz stabil az alábbi állapottér reprezentáció:

A feladat megoldása:

Stabil, ha mindkét pólus negatív valós értékű.

ami mindig teljesül, azaz bármely értékére negatív értékű.

1. eset 2. eset

5.2. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

A negatív valós érték feltétele, hogy legyen.

5.1.2. Bode-stabilitási kritérium

A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bode-stabilitási kritériumok.

- Ha -20 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha -40 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a vágási frekvencián érvényes fázisszög értéke dönt a zárt rendszer stabilitásáról. Ha , akkor a zárt rendszer stabilis, míg ha , akkor a zárt rendszer labilis.

- Ha -60 dB/dek-dal metszi a tengelyt, akkor a zárt rendszer labilis.

5.3. ábra - Nyquist stabilitási kritérium

A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a fázistartalék fogalmát:

- Ha , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha , határeset.

- Ha , akkor a zárt rendszer labilis.

A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a erősítési tartalék fogalmát. Azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. Erősítési tartalék és a stabilitás kapcsolata:

- Ha , akkor a zárt rendszer stabilis.

- Ha , határeset.

- Ha , akkor a zárt rendszer labilis.

A minőségi kritériumok vizsgálata mindig a szabályozott rendszer (zárt kör) vizsgálatával történik: A zárt rendszer átviteli függvénye:

ahol a hurokátviteli függvény és az előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Az alábbiakban az időtartományi és frekvencia tartományi jellemzőket soroljuk fel.

6.1. ábra - Időtartományi jellemzők

6.1.2. Frekvencia tartományi jellemzők

• rezonancia csúcs : az amplitúdó görbe maximális értéke,

• rezonancia frekvencia : a rezonancia csúcshoz tartozó frekvencia érték,

6.2. ábra - Időtartományi jellemzők

• A sávszélesség fogalmát a kiegészítő érzékenységi függvény segítségével a következőképp adhatjuk meg. A rendszer sávszélessége az a frekvencia tartomány, amelyben a kiegészítő érzékenységi függvény Bode diagramja -re csökken.

Vizsgáljuk a zárt rendszer kimenetét különböző bemenetek esetén:

ahol .

6.3. ábra - Időtartományi jellemzők

Bevezetjük a szabályozási körben értelmezett érzékenységi függvényt és a kiegészítő érzékenységi függvényt:

Az érzékenységi függvény azt mutatja meg, hogy a zavaró jellemző hogyan befolyásolja a zárt rendszer kimenetét.

Az érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el.

Az érzékenységi függvény definíció szerint:

Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk:

A kiegészítő érzékenységi függvény a referencia jel és a kimenő jel közötti átviteli függvény.

A kiegészítő érzékenységi függvény közelítő ábrázolását Bode-diagramon a felnyitott hurok frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. A kiegészítő érzékenység függvény definíció szerint:

Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk:

Az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvények közötti összefüggés az alábbi:

6.4. ábra - Időtartományi jellemzők

Követő szabályozásoknál a kimenőjelnek a referencia jeltől való eltérését követési hibának nevezzük:

Vizsgáljuk meg, hogy adott referencia jelre aszimptotikusan mekkora lesz az eltérés, azaz a követési hiba. A követési hiba jel és a referencia jel Laplace-transzformáltjai közötti kapcsolatot az érzékenységi függvény írja le. Alkalmazva a határérték tételeket:

Vizsgálhatjuk a tipikus referencia jelek, mint egységugrás vagy egység sebesség ugrás jelek aszimptikus követését.

6.3.1. 1. eset: Egységugrás bemenetre adott válaszfüggvény

Vizsgáljuk meg a válaszfüggvényt , bemenetre. Ekkor

(264)

Ha arányos jellegű, azaz ha , akkor

(265)

ahol a hurokerősítési tényező. A követési hiba értéke függ a hurokerősítési tényező értékétől.

Ha integráló jellegű, azaz ha ,

alakú, akkor

(266)

tehát a követési hiba aszimptotikusan zérus.

Ha 2 típusú (kétszeres integrátort tartalmaz), azaz ha , alakú, akkor

(267)

tehát a követési hiba aszimptotikusan zérus.

6.3.2. 2. eset: Egységsebesség bemenetre adott válaszfüggvény

Vizsgáljuk meg a válaszfüggvényt , bemenetre. Ekkor

(268)

Ha arányos jellegű, azaz ha ,

akkor

(269)

azaz a kimenet nem korlátos.

Ha integráló jellegű, azaz ha ,

alakú, akkor

(270)

tehát a követési hiba aszimptotikusan nem zérus értékhez tart.

Az aszimptotikus zavarkompenzálást az aszimptotikus alap- vagy referencia jelkövetéshez hasonlóan vizsgálhatjuk. Tipikus zavaró jelek, mint egységugrás, egység sebességugrás jelek, a zavaró jel hatását a kimenő jelben zérus referencia jel feltételezése mellett vizsgáljuk. Ehhez felírjuk a kimenő jel és a zavaró jel Laplace - transzformáltjai közötti összefüggéseket és alkalmazzuk a határérték tételeket.

A kimenő és a zavaró jel közötti átviteli függvény az érzkenységi függvény. Ennek alapján a kimenőjel Laplace - transzformáltja

Alkalmazva a határérték tételt:

Legyen például , .

A dinamikus jelenségek leírására közönséges vagy parciális differenciál-egyenleteket használunk. Az egyenletek alakja és struktúrája, a bennük szereplő paraméterek általában nem ismertek teljesen pontosan vagy ha azok időben változnak, a változásuk általában nem ismert.

Mivel a valódi rendszer modelljének pontos alakja a gyakorlati feladatokban nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, úgynevezett névleges (nominális) modelljét használjuk. A modell és a valós rendszer közötti eltérést több tényező okozza:

Ezen hatások modellezésekor célszerű megkülönböztetni az állandóan jelen levő modell bizonytalanságot a külső zavarástól. Zavarások (disturbances) körébe tartozik tipikusan a rendszerre ható külső zavarás, az irányítójel hibája, a mérési zaj. Az irányítás célja, hogy a zavarások hatását csökkentse a mérnöki szempontból érdekes (esetleg fiktív) kimenő jelekre -- ez egy tipikus performancia követelmény.

Modell bizonytalanság (uncertainty) a modellben meglevő parametrikus bizonytalanságok és a nem modellezett dinamika hatása. Egy speciális eset a qLPV modellek ütemezési változói, amik ismertek a végrehajtás során de nem ismertek tervezéskor: a tervezés számára bizonyos szempontból bizonytalan paraméterként viselkednek. Az irányítás célja stabilitás és performancia garantálása adott nagyságú feltételezett modell bizonytalanság mellett.

Kétféle modell-bizonytalanságot különböztethetünk meg: strukturális és strukturálatlan modell-bizonytalanságot. A struktúrált bizonytalanság modellezésekor a bizonytalansági blokk struktúrálása (például blokk-diagonális) növelheti a modell pontosságát és használhatóságát az irányítás-tervezés szempontjából. Tipikusan struktúrált a grey-box modellezés során kapott modellben előforduló paramétereknek a bizonytalansága: a paraméter értéke pontosan nem ismert, de a bizonytalanság mértéke általában jól becsülhető.

Példa 6.1

Egy gépjármű felfüggesztési modelljének megkonstruálásakor több tényezőt kell figyelembe venni.

7.1. ábra - Példa egy felfüggesztési rendszer modellezésére

Példa 6.2

A modellezés során a nemlinearitások hatásait célszerű figyelembe venni. A mechanikai rendszerek irányítására alkalmazott lineáris irányítási algoritmusokkal megvalósított szabályozási rendszer tulajdonságait nagymértékben leronthatják a mechanikai rendszerben jelenlevő (nemfolytonos) nemlinearitások. Néhány jellemző példa: szaturáció, surlódás, holtsáv, kotyogás, hiszterézis.

A szabályozott rendszer komponensei az előzőek alapján a modell és a szabályozó, valamint a minőségi specifikációkkal és bizonytalanságokkal kapcsolatos információk. A 35 ábrán látható úgynevezett struktúrájú modellt használjuk a szabályozó tervezéséhez.

Ha figyelembe vesszük a szabályozó hatását, azaz az irányítójel és a mért jel közötti kapcsolatot , akkor az úgynevezett M- struktúrához jutunk.

7.10. ábra - struktúra

A 36. ábrán látható modellt a szabályozott rendszer elemzéséhez használjuk.

Soros kompenzátor tervezése előírt fázistartalék elérése érdekében történik. A tervezési elv ismertetése érdekében első lépésben arányos soros kompenzátor tervezését mutatjuk be.

8.1. ábra - Soros kompenzátor felépítése

A zárt rendszer átviteli függvénye:

ahol a hurokátviteli függvény és az előrevezető ág eredő átviteli függvénye.

Vizsgáljuk meg első lépésben egy arányos kompenzátor tervezését. Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója , míg fázisa a teljes frekvencia tartományban. Következtetés: Egy arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig esetén felfelé, míg esetén lefelé, ugyanakkor a fázisfüggvényt nem módosítja.

A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy vágási körfrekvenciához tartozó fázisszög éppen az előírt legyen.

Olvassuk le a fázisszöghöz tartozó amplitúdó értékét és jelöljük ezt előjelhelyesen -szel Az arányos soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan -szel eltolja (miközben a fázisfüggvényt változatlanul hagyja).

Tehát -t a következőképpen kell megválasztani:

ahol az ábráról leolvasott érték, s ebből kiszámítható:

Összefoglalva a soros kompenzátor tervezés lépései a következők:

(a) választással felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját.

(b) Leolvassuk a -hez tartozó előjeles értékét és kiszámítjuk soros kompenzátor értéket.

Megjegyzés: Ha az amplitudó függvényt lefelé kell eltolni, akkor , míg ha felfelé, akkor erősítést várunk.

(c) Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait.

Ha a cél egy dinamikus kompenzátor tervezése, akkor a tervezést megpróbáljuk visszavezetni arányos soros kompenzátor tervezésére:

ahol a kompenzátor átviteli függvényének ismert komponense.

Például:

azaz és . A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő:

ahol . Ha a rendszer átviteli függvényét a komponenssel módosítjuk, akkor átviteli függvényhez jutunk.

A tervezés során a átviteli függvénnyel adott rendszert tekintjük szabályozandó rendszernek, amihez egy arányos kompenzátort kell terveznünk.Természetesen a tervezett soros kompenzátort alakú.

Példa 7.1

Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye:

Tervezzünk fokos fázistartalékot biztosító arányos soros kompenzátort.

A feladat megoldása: Válasszunk kiindulásként arányos soros kompenzátort:

Szerkesszük meg a felnyitott hurok Bode diagramját.

8.2. ábra - Soros kompenzátor felépítése

Változtassuk meg -t úgy, hogy a fázistartalék fokos legyen, azaz és a fázisszög -nél: . Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója , míg fázisa a teljes frekvencia tartományban.

• Jelen esetben arányos soros kompenzátor oldja meg a feladatot ( fokos fázistartalékot biztosít).

8.3. ábra - Soros kompenzátor felépítése

Példa 7.2

Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye:

Tervezzünk jelkövetést biztosító soros kompenzátort, amelyik fokos fázistartalékot is garantál.

A feladat megoldása: A jelkövetés akkor biztosítható, ha a soros kompenzátor integráló tulajdonságú. Emiatt a soros kompenzátort a következő alakban választjuk meg:

A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő:

Ha a rendszer átviteli függvényét -nek tekintjük, akkor a továbbiakban egy arányos soros kompenzátort kell terveznünk az . példában leírtakhoz hasonló módon.

A következőkben megvizsgáljuk, hogy a modell alapján megtervezett szabályozó vajon stabilizálja-e a valós rendszert. Ehhez a modell bizonytalansági struktúráiból indulunk ki.

Tekintsük a bizonytalanságot additív struktúrában.

A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie.

Tétel 7.1 Legyen az ismert névleges modell, amelyet a tervezett soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba felső korlátját a teljes frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül:

Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hiba struktúra esetén.

Tekintsük a bizonytalanságot multiplikatív struktúrában.

A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer névleges modelljén kívül ismerjük a szabályozó modelljét. Tegyük fel, hogy a kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie.

Tétel 7.2 Legyen az ismert névleges modell, amelyet a tervezett soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba felső korlátját a teljes frekvencia tartományban ismerjük. Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következő feltétel teljesül:

Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hiba struktúra esetén.

A PID egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolata. A PID szabályozó tervezésekor az erősítéseket és az időállandókat kell megfelelően beállítani (hangolni). Megjegyezzük, hogy a valóságban időtárolós differenciáló tag van az ideális differenciáló tag helyett.

8.4. ábra - PID szabályozó struktúrája

A szabályozó átviteli függvénye:

ahol az arányos tag erősítése, az integráló tag időállandója, a differenciáló tag időállandója.

Az jel és hibajel közötti kapcsolat:

Zérus kezdeti feltételekkel Laplace transzformálva:

Példaként tekintsük a átviteli függvényű rendszert, amit különböző arányos taggal szabályoztunk.

8.5. ábra - Arányos tag hatása

Növekvő erősítések mellett a szabályozási eltérés csökken ugyan, de a válaszfüggvény oszcillációja jelentősen növekszik. Tekintsük ugyanazt a átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PI taggal végeztük a szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot -re és változtassuk az integráló tag időállandóját..

8.6. ábra - Arányos tag hatása

Az integráló hatás eredményeként az állandósult állapotú hiba eltűnik. A válaszfüggvény oszcillációja növekedésével jelentősen csökkenthető, viszont ezzel együtt a beállási idő jelentősen növekszik.Tekintsük ugyanazt a átviteli függvényű rendszert. Ezúttal PID taggal végeztük a szabályozást. Rögzítsük az arányos tagot -ra, rögzítsük az integráló tag időállandóját -re és változtassuk a differenciáló tag időállandóját..

8.7. ábra - Arányos tag hatása

A növekedésével a beállási idő jelentősen csökkenthető és a lengések jelentősen csillapíthatók. A differenciáló hatás a szabályozást gyorsítja.

A PID szabályozó egy arányos, egy integráló és egy differenciáló tag párhuzamos kapcsolataként értelmezhető.

A PID szabályozó egy másik alakja egy arányos, egy PI tag és egy PD tag soros kapcsolataként értelmezhető. Ekkor az egyes komponensek egymással kölcsönhatásban vannak.

8.8. ábra - PID szabályozó struktúrája

A kétféle felírás között a következő kapcsolat írható fel. A klasszikus alak komponensei:

A soros alak komponensei:

Megjegyzés: A soros alak felírásának feltétele, hogy . A klasszikus alak általánosabb, mint a soros alak. Gyakran a tervezés (tuningolás) szempontjából a soros alak ledvezőbb. A két felírás P, PI, PD típusú struktúrák esetén ekvivalens. Különböző PID struktúrák választása esetén a két felírás paraméterei különböznek, azokat az összefüggéseknek megfelelően kell számítani.

A PID struktúra egy másik elterjedten használt alakja:

Ez az alak a klasszikus PID alakkal ekvivalens.

A két alak közötti kapcsolat:

és az időállandók: , .

A PID szabályozók tervezésekor a következő négy szempontot kell figyelembe venni:

- Zajszűrés.

- Referenciajel súlyozás.

- Beavatkozó telítődése.

- Tuningolás, hangolás.