1. fejezet - Optikai alapfogalmak

A fény tulajdonságai

A fény elektromágneses rezgés. Kettős, hullám-, illetve részecsketermészete van, ezért bizonyos jelenségeket hullámtani, másokat pedig kvantummechanikai tárgyalással lehet leírni.

A fény hullámhossza:

 

(1.1)

ahol

 

λ

a fény hullámhossza vákuumban

 

c

a fény terjedési sebessége vákuumban (közelítőleg: 3108 m/s)

 

v

a fény frekvenciája

A törésmutató és az Abbe-szám

A sebesség vákuumbelihez képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törésmutatóval fejezzük ki.

 

(1.2)

ahol

 

c

a fény terjedési sebessége vákuumban

 

v

a fény terjedési sebessége az adott közegben

Az üveg törésmutatója is változik a fény színe szerint. Ernst Abbe-ról Abbe-számnak nevezzük a következő összefüggést:

 

(1.3)

ahol

 

v

az Abbe-szám

 

n d

törésmutató sárga színre

 

n F

törésmutató kék színre

 

n C

törésmutató vörös színre

Fermat-elv

Két pont között a fénysugár azokon az utakon halad, amelyek megtételéhez a legrövidebb időre van szükség más útvonalakkal szemben.

A geometriai távolság és a közeg törésmutatójának szorzatát – optikai úthossznak nevezzük.

Vagyis a két pont között a fénysugár olyan utakon fog haladni, hogy azok mentén az optikai úthosszak összege egyenlő legyen.

Fénytörés két közeg határán
1.1. ábra - Fénytörés két közeg határán


A Snellius–Descartes-törvény

 

(1.4)

A totálreflexió

A totálreflexió
1.2. ábra - A totálreflexió


A határszögnél nagyobb beesési szöggel érkező fénysugarak nem tudnak kilépni a közegből, totálreflexiót szenvednek.

A geometriai optika alaptörvényei

Előjelszabályok (megállapodások)

A sugármenet-rajzokat úgy vesszük fel, hogy a fénysugarak balról jobbra haladjanak.

Egyetlen gömbfelület képalkotása
1.3. ábra - Egyetlen gömbfelület képalkotása


 

(1.5)

Ha a gömbfelületre párhuzamos fénysugarak érkeznek (a tárgy a végtelenben van), akkor a fénysugarak a képoldalon a fókuszpontban találkoznak. s= - ∞ és s’=f’ helyettesítéssel:

 

(1.6)

Ezt a mennyiséget törőértéknek nevezzük, és dioptriában adjuk meg:

 

(1.7)

Kardinális elemek: fősíkok, főpontok, csomópontok

A fősíkok az optikai rendszerbe a tengellyel párhuzamosan belépő fénysugarak és a rendszert elhagyó megfelelő fénysugarak meghosszabbításainak metszéspontjai által kifeszített felületek. (1.4. ábra)

A főpontok a fősíkoknak és az optikai tengelynek a döféspontjai (H, H’).

Minden optikai rendszernek két fősíkja (és főpontja) van: tárgyoldali és képoldali fősíkok (főpontok).

A fősíkok és a főpontok szerkesztése
1.4. ábra - A fősíkok és a főpontok szerkesztése


A fősíktól mérjük a fókusztávolságokat, a tárgytávolságot, illetve a képtávolságot.

A csomópontok

Egy optikai rendszer egyik csomópontjába (N) irányított fénysugár a rendszert önmagával párhuzamosan hagyja el, úgy, mint ha a másik csomópontból (N’) indult volna (1.5. ábra).

A csomópontok származtatása
1.5. ábra - A csomópontok származtatása


Ha az optikai rendszer tárgy-, és képtere azonos törésmutatójú (pl. levegő), akkor a csomópontok és a főpontok egybeesnek.

A Newton-formula

Mérjük a tárgy illetve a kép távolságát a fókuszpontoktól (z illetve z’

Newton-formula:

 

(1.8)

a Newton-formula segítségével írhatók az alábbiak:

 

(1.9)

Vázlat a Newton-formulához
1.6. ábra - Vázlat a Newton-formulához


Amennyiben a tárgy- és képtér is levegő (vagy azonos közeg) akkor f’=f és így

 

(1.10)

Vázlat a vékonylencse számításhoz
1.7. ábra - Vázlat a vékonylencse számításhoz


A vékony lencse egyenlete:

 

(1.11)

a vékony lencse fókuszképlete:

 

(1.12)

Nagyítások

  1. Lineáris nagyítás (β)

     

    (1.13)

    A lineáris nagyítás számítása
    1.8. ábra - A lineáris nagyítás számítása


    Kifejezhető még a Newton-formula segítségével:

     

    (1.14)

  2. Szögnagyítás (γ)

    A szögnagyítás számítása
    1.9. ábra - A szögnagyítás számítása


     

    (1.15)

     

    (1.16)

    Számítsuk ki a lineáris és a szögnagyítás szorzatát:

     

    (1.17)

    Ha f = f’, akkor

     

    (1.18)

    Ha f = f’, akkor

     

    (1.19)

  3. Longitudinális nagyítás (α)

     

    (1.20)

     

    (1.21)

    Ha f = f’, akkor:

     

    (1.22)

    a lineáris és a szögnagyítás hányadosa

     

    (1.23)

Vékony lencsék eredője

Két elemi vékony lencsét egymás mellé helyezve, dioptriáik, vagyis törőértékeik összeadódnak:

 

(1.24)

mivel azonos közegekben , ezért

 

(1.25)

f-re kifejezve

 

(1.26)

„vastag” lencsék eredője

Vastag lencse eredője
1.10. ábra - Vastag lencse eredője


 

(1.27)

illetve levegőben lévő lencsék összerakásakor:

 

(1.28)

Az (1.27) összefüggés nevezőjében lévő kifejezést jelöljük Δ-val.

Ezt nevezzük optikai tubushossznak.

 

(1.29)

 

(1.30)

Összefoglalva:

 

(1.31)

Vastag lencse fókusza és fősíkjainak helye
1.11. ábra - Vastag lencse fókusza és fősíkjainak helye


 

(1.32)

Vázlat a vastag lencse fősíkjainak számításához
1.12. ábra - Vázlat a vastag lencse fősíkjainak számításához


Több felületből álló lencserendszerek

Eredő fókusztávolság:

 

(1.33)

Eredő lineáris nagyítás:

 

(1.34)

ahol

 

k

a gömbfelületek száma

 

n 1

a tárgytér törésmutatója

 

n’ k

a képtér törésmutatója

Kepler-távcső

A rendszer szögnagyítása

 

(1.35)

A Kepler-távcső
1.13. ábra - A Kepler-távcső


γ negatív előjele a fordított állású képet jelzi

Galilei-távcső (színházi vagy terresztikus távcső)

A Galilei-távcső
1.14. ábra - A Galilei-távcső


A szögnagyítás (1.9. ábra)

 

(1.36)

A Galilei távcső egyenes állású képet alkot.

Optikai átviteli függvények

Optikai rendszereknél ω=2πv.

A v a térfrekvencia, vagyis a milliméterenkénti periódusok száma.

 

(1.37)

Az OTF az MTF és a PTF jelölést a nemzetközi irodalom miatt tartjuk meg (optical transfer function, modulation transfer function, illetve phases transfer function), utóbbit szokás még egyszerűen ϕ(ν)-vel jelölni.

Definicíószerűen MTF(0) = 1 vagyis nulla térfrekvencián a modulációs átviteli függvény értéke egységnyi, míg PTF(0) = 0, vagyis a fázisátviteli függvényérték ugyanott zérus.

A modulációs átviteli függvény és a fázisátviteli függvény
1.15. ábra - A modulációs átviteli függvény és a fázisátviteli függvény


Aberrációmentes optikai rendszer átviteli függvénye

 

(1.38)