A fejezet elején a rendszertechnika témaköréből röviden megemlítjük azokat az ismereteket, amelyek a tervezéshez szükségesek. A rendszertechnika témában elmélyülni szándékozók részére ajánljuk Korondi P. „Rendszertechnika” című elektronikus jegyzetét [2.4.].

A mechatronikai tervezésben a dinamikus rendszerek háromféle matematikai modellje használatos:

A három modell nem egyenértékű sem a valóság közelítése, sem a felhasználhatóság tekintetében. A legfontosabb ismereteket táblázatban foglaltuk össze.

Az Táblázat 1.1 baloldali, első oszlopában n-ed rendű differenciálegyenlet látható, ami alatt konkrétan egyváltozós differenciálegyenletet értünk. A modellben egy kimeneti változó (x_ki) és egy bemeneti változó (x_be) szerepel. A lineáris differenciálegyenlet, annak homogén, és bizonyos partikuláris megoldása igen lényeges a szabályozások dinamikai minőségi követelményeinek tervezése, beállítása során. Ilyen időbeli minőségi jellemzők a „lappangási idő”, a „felfutási idő”, a „beállási idő”, a „túllendülés” és a „maradó szabályozási eltérés” (hiba). A gépészet sok területén (műszaki mechanika, áramlástan, hőtan) az állapottér módszer mellett a legtöbbet alkalmazott matematikai modell-forma. Az egyszerűbb szakasz-modellek lineáris differenciálegyenletekkel leírhatók, ezért a szabályozástechnikai szakirodalomban ennek a modell-formának kiemelt szerep jut. A rendszer időbeli viselkedését írhatjuk le a segítségével. Ha egy rendszer „n” db. független energiatárolót tartalmaz, akkor a differenciálegyenlet rendszáma „n” lesz. A homogén differenciálegyenlet megoldása műszaki felfogásban a magára hagyott, gerjesztetlen rendszer viselkedését írja le, általános alakban. Konkrét függvényhez természetesen csak a kezdeti feltételek megadásával juthatunk. A villamosmérnöki/szabályozástechnikai gyakorlatban ezt speciális „válaszfüggvényként” interpretálják, amennyiben a differenciálegyenlet lineáris és állandó együtthatós. Ez a függvény a rendszer impulzus bemenőjelre (Dirac-impulzus) adott általános válasza, mostanában használatos nevén „impulzusválasz”, régebbi irodalomban ez súlyfüggvényként szerepel. A mérnöki gyakorlatban, az általános bemenőjelre adott rendszerválaszt nem szokás idő tartományban, a súlyfüggvény és a konvolúciós integrál segítségével meghatározni, hanem az operátor térben, az átviteli függvény alkalmazásával. Mivel az operátor térben a konvolúciós integrál megfelelője bemenőjel Laplace transzformáltjának és az átviteli függvénynek szorzata, ugyanakkor a Dirac-impulzus Laplace transzformáltja =1, az impulzus választ legegyszerűbben az átviteli függvény inverz Laplace transzformálása révén kapjuk meg. A villamosmérnöki gyakorlatban (a gépészeti, áramlásos stb. rendszerektől eltérően) azok a passzív hálózatok, amelyek R-L-C elemeket tartalmaznak, többségükben állandó együtthatós és lineáris differenciálegyenletekkel írhatók le. Ez az oka annak, hogy előszeretettel alkalmazzák ezen a tudományterületen a Laplace transzformációt differenciálegyenletek megoldására. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy minden villamos rendszer lineáris. Jól illusztrál egy a gyakorlatban nagy szerepet játszó nemlineáris elektromechanikus rendszert az elektromágneses csapágyazás.

A gépészet területén gyakran tapasztaljuk, hogy a nemlineáris differenciálegyenlettel leírt rendszer vizsgálata során un. munkaponti linearizálást végeznek el annak érdekében, hogy analitikus úton zárt alakú megoldáshoz juthassanak. Ezért, amint látni fogjuk, az 1970-es évektől egyre elterjedtebben alkalmazzák gépészeti dinamikai problémák leírásához hálózati módszert, ezen belül az impedancia módszert. Ha ugyanis tudjuk előre, hogy analitikus úton fogjuk keresni a megoldást, és linearizáljuk a differenciálegyenletet, akkor sokkal célravezetőbb már a folyamat elején egy jelentősen leegyszerűsített, lineáris hálózattal leírható modellből kiindulva megtenni ezt.

Egy adott rendszer differenciálegyenletéhez energia módszerrel, hálózati módszerrel, vagy közvetett módon az impedancia módszerrel juthatunk el.

Az átviteli függvény a Laplace transzformáció egyik szabályával függ össze, és, amint az előbbiekben láttuk, és alkalmazása az időtartománybeli konvolúciós integrált helyettesíti. Csak lineáris rendszer-modellekre alkalmazható. Definíciója szerint a kimenőjel és bemenőjel Laplace transzformáltjának hányadosa zérus kezdeti feltételekkel. Átviteli függvényt csak egyetlen bemenőjel és egyetlen kimenőjel között írhatunk fel. Több forrást, gerjesztést tartalmazó rendszer esetén a szuperpozíció szabályát alkalmazhatjuk. Több gerjesztés és több válasz között pedig az átviteli mátrix segítségével lehet a kapcsolatokat megjeleníteni. Az átviteli függvény az „s” Laplace operátor racionális törtfüggvénye, hiszen az „s” operátor fokszáma a számlálóban nem lehet magasabb, mint a nevezőben. A nevezőben az „s” operátor fokszáma „n”, ha a rendszerben található független energiatárolók száma „n”. A tört számlálója és nevezője egy-egy polinom. A nevezőt „karakterisztikus polinomnak” nevezik, tekintettel arra, hogy a nevező együtthatói a lineáris, állandó együtthatós, közönséges homogén differenciálegyenlet együtthatóinak felelnek meg. A homogén differenciálegyenlet, különböző kombinációkban, hiánytalanul tartalmazza a vizsgált rendszer valamennyi paraméterét, tehát jogos a karakterisztikus polinom elnevezés. Az együtthatók alapján előállított megoldás jellemzi a rendszer dinamikáját, megadja a „karakterét”. Mivel az átviteli függvény polinomokat tartalmaz, kizárt a nemlineáris rendszerek leírásának lehetősége, hacsak előzetesen linearizálás nem történt. A táblázat alatti magyarázatban leírtuk, hogy a változó paraméterekkel leírható lineáris rendszerek esetében is lehetséges első lépésben átviteli függvényt impedancia módszerrel előállítani, majd időtartományba „visszatérve” a kérdéses együtthatók esetében az álladókat megfelelő függvénnyel helyettesíteni.

Az átviteli függvény alkalmazása a szabályozástechnikában igen széleskörű és alapvető. A hagyományos szabályozókörök leírásához alkalmazott tömbvázlatok „dobozaiban” átviteli függvények szerepelnek. Innen egy lépés, és az s=jω helyettesítés révén eljutunk a frekvencia átviteli függvényhez (és a Bode diagramhoz), vagy a komplex síkon történő ábrázolás révén a Nyquist diagramhoz. Ezekkel lehetővé válik a hagyományos szabályozókörök stabilitásának vizsgálata számítással és méréssel egyaránt. A méréses utat külön szeretnénk hangsúlyozni, mert a zárt kör karakterisztikus polinomjából induló stabilitás vizsgálatok számításos eljárások. A stabilitás a minőségi követelmények második „köre”. A szabályozás dinamikai minőségi követelményeiről a differenciálegyenlet címszó alatt beszéltünk. Mind a Bode, mind pedig a Nyquist diagram, valamint az ezekhez kapcsolódó módszerek lényegében azt szemléltetik, hogy a zárt szabályozási kör nevezője semmilyen, a rendszer működése szempontjából lényeges (releváns) körfrekvencia esetében sem adhat zérus értéket. Elméletben természetesen a körfrekvencia tartomány megfogalmazása más módon történik: 0≤ω<∞. A zárt kör átviteli függvénye a szokásos felírási módon:

ahol G(s) a felnyitott kör átviteli függvénye, azaz a hurokátviteli függvény, a számlálóban a szabályozó és a szakasz átviteli függvényeinek szorzata található. A „kanonikus” szabályozókör tömbvázlatát a „Bevezetőben” találjuk a (2. ábra) ábrán.

Így tehát kérdéses nevezőt az s=jω helyettesítés után zérussal egyenlővé téve megkapjuk azt a kritikus körfrekvenciát, amely esetében a szabályozókör a stabilitás határára kerül. Ebben az esetben a harmonikus ellenőrző jel és az ugyancsak harmonikus alapjel amplitúdói megegyeznek, a két jel közötti fáziskülönbség pedig ±π, azaz ±180°.

Érdemes egy gondolati kísérlet végezni. Válasszuk le a különbségképző bemenetéről a negatívan visszacsatolt ellenőrző jelet! Legyen az alapjel speciális, mégpedig a kritikus körfrekvenciájú harmonikus jel, amelyet egyetlen periódus elteltével lekapcsolunk! A kritikus körfrekvencián azt tapasztaljuk, hogy ez az alapjel végighaladva a hurkon, ±π fázistolással, és azonos amplitúdóval, ellenőrző jelként megjelenik. Biztosak lehetünk abban, hogy a kör újbóli zárása után oszcilláció, azaz csillapítatlan lengés jön létre, mert a fázisában ±π szöggel eltolt jel a negatív visszacsatolás után éppen ellenfázisba kerül. Ez pedig nem más, mint az eredeti alapjel, tehát a kör alapjel nélkül is „működik”. Az oszcillációt természetesen a szabályozókörbe becsatolt energia tartja fenn.

Megjegyezzük még, hogy a vizsgálatokat azért végezzük harmonikus jelekkel, mert minden műszaki szempontból szóba jöhető periodikus és bizonyos feltételek mellett a nem periodikus jelek is, harmonikus összetevőkre bonthatóak a Fourier transzformáció segítségével. (Megjegyezzük, hogy Fourier sora csak periodikus függvényeknek van). A témáról részletesen Fodor György [3.1.] és Korondi Péter [2.4.] munkájában olvashatunk. Így tehát, ha ismerjük a harmonikus jelek átviteli karakterisztikáját, akkor elvben bármilyen jel átvitele meghatározható.

Az állapottér modell, más néven az állapotegyenletek a fizikai-technikai rendszerek legátfogóbb leírását teszik lehetővé, mind idő, mind pedig operátor (körfrekvencia) tartományban. A modern szabályozások (állapotszabályozás, állapot-megfigyelés, adaptív szabályozás) leírásához kifejlesztett modell-forma. Ezen túlmenően minden, jelenleg ismert digitális számítógépes szimulációs program kiinduló pontja.

Felépítését tekintve ez a matematikai modell a differenciálegyenlet Cauchy-féle normál alakja. Lényeges, hogy „n” db. független energiatárolót tartalmazó rendszer esetében „n” db. elsőrendű differenciálegyenletből épül fel. Ezek a differenciálegyenletek lehetnek lineárisak és nemlineárisak is, állandó és változó együtthatósak.

Ha a rendszer lineáris (linearizálható) és a paraméterek invariánsak (állandók), akkor az állapottér modell felírható mátrix-vektor egyenletrendszer formájában is. Az első egyenlet a főegyenlet, a második a segéd, vagy kimeneti egyenlet.

A főegyenletben az mátrix a „rendszermátrix”, hiszen elemei különböző kombinációkban a rendszer minden paraméterét tartalmazzák. A neve „bemeneti mátrix”, a gerjesztések ezen keresztül hatnak az állapotjelzők időbeli megváltozására. A segédegyenletben a a „kimeneti mátrix” és a „segédmátrix”. A homogén differenciálegyenlet ebben az esetben is a gerjesztetlen rendszert jelenti. A megoldást idő tartományban az exponenciális mátrix Taylor sorfejtésével, vagy operátor tartományban a karakterisztikus egyenlet gyökeinek meghatározásával kapjuk.

Bevezetőben le kell szögezni, hogy ismereteink és eszközeink végessége miatt a technikai (és egyéb) rendszerek tökéletes, hiba nélküli leírására vállalkozni illuzórikus lenne. A műszaki rendszerekre ható tényezők elvben „végtelen” nagy száma és a rendszeren belüli összetett kölcsönhatások miatt többnyire „zárt rendszerek” vizsgálatára szorítkozunk. Az un. zárt rendszer határainak kijelölése komoly tárgyi tudást és igen nagy szakmai tapasztalatot feltételez. A mechatronika természetesen az irányítástechnikához (szabályozástechnika és vezérléstechnika) áll a legközelebb, de a problémákat jellemzően nem villamosmérnöki szemlélettel közelíti, hanem a teljes műszaki rendszert egészében vizsgálja. A mechatronikai tervező mérnöknek kellő mélységben ismernie kell a műszaki mechanika, az elektrotechnika az áramlástan és a hőtan tudományterületeket. Felületes ismeretek nem elegendőek. Ezen túlmenően, felhasználói szinten, járatosnak kell lennie az analóg és digitális elektronikában, és az informatikai eszközök kínálatában. Ez utóbbi körébe tartoznak többek között a végeselem (VEM) szimulációs programok, a CAD/CAM rendszerek, a matematikai és dinamikai szimulációs programok, az optikai képfeldolgozásra alkalmas programok, a mikrokontroller és PLC ismeretek. Jól érzékelteti ezt W. Roddeck az Einführung in die Mechatronik című, végzett gépész-és villamosmérnökök számára írt könyvében [1.1.].

A mechatronikai gyakorlatban igen ritka, hogy a szabályozás tervezésénél „adott matematikai modellből” indulunk ki. A matematikai modell általában nem ismert, nem adott, ezt első lépésben a mechatronikai mérnöknek kell létrehoznia, esetenként más szakterületek szakembereinek bevonásával.

A mechatronikai rendszerek minden ismert esetben összetett, esetenként többszörösen összetett rendszerek. A nemzetközi tapasztalatok mennyisége 1984-tól kezdődően, azaz a „mechatronika” szakkifejezés védettségének 15 éves elmúlását követően, a mechatronika szakterületen lavinaszerűen bővül. Jelen pillanatban szinte meg sem jósolható, hogy mely újabb tudományterületeken fog a mechatronikai szemlélet tért hódítani. Egykor a fényképező és videó rendszerekből kiindulva, a gépészet valamennyi területén gyorsan megjelent, és jelenleg, - néhány jellegzetes területet kiemelve - a szórakoztató elektronikától kezdve az építőiparon, a közlekedésen, a mezőgazdaságon át az orvostechnikáig mindenütt jelen van. Az utóbbi években, az intelligens anyagok és szerkezetek kutatásának hatására már nem is mechatronikáról, hanem „adaptronikáról” beszélünk.

1.1. ábra - A modellezés folyamat ábrája

A modellezés folyamat ábráján minden lényeges mozzanat látható. A bonyolult fizikai-technikai rendszerből két absztrakciós fokozaton áthaladva jutunk el a rendszer matematikai modelljéhez. A fentiekben ismertettük, hogy a vizsgált rendszer a maga teljességében és összes kölcsönhatásait figyelembe véve nem írható le, de erre a műszaki feladatok megoldása során nem is lenne szükség.

Első lépésben meghatározzuk a rendszerhatárokat, és ezt követően un. egyszerű, vagy komplex zárt rendszerről beszélünk. Tulajdonképpen lényegkiemelés történik, az adott modellezési célnak alárendelve. Ebben a fázisban kell eldönteni, hogy szükséges-e elosztott paraméterekkel és parciális differenciálegyenletekkel modellezni, vagy elegendő a megkívánt pontosság betartásához a koncentrált paraméterű modell. Például egy villamos vezető darabot, a jelek jellemző frekvenciájától függően modellezhetünk „R” ohmos ellenállásként, de megjeleníthetjük tápvonalként, négypólusok láncolataként is, amely „Z(ω) hullámimpedanciával rendelkezik. A gerjesztés módjától és frekvenciájától függően jelek (változók) frekvenciájától (hullámhosszától) függően egy lemez, vagy rúd alakú alkatrész modellezhető a mechanikában egyetlen tömegként. Ugyanezt az alkatrészt lehet veszteséges rugalmasságokkal összekötött, parciális tömegrészekből álló, elosztott paraméterű rendszerként is modellezni, amelyek több „módusa” (rezonancia frekvenciája) van. Itt kell eldönteni, hogy milyen, más típusú rendszerekkel való kölcsönhatásokat kell figyelembe venni. Például egy villanymotor modellezése esetében elegendő az elektromechanikus modellt vizsgálni, vagy ki kell egészíteni egy hőtechnikai modellel is. Napjaink gazdaságközpontú gondolkodása igen sok esetben nem teszi lehetővé az aprólékos, részletekbe menő modellek megalkotását, igyekezni kell a „megrendelő” igényeit az elengedhetetlenül szükséges tudományos alapossággal kielégíteni.

Erről a témáról a 19. fejezet fejezetben bővebben is olvashatunk, ahol a módszeres tervezés lépéseit mutatja be a szerző.

Ebben a lépésben kell eldöntenünk, hogy nem lineáris módon, illetve lineáris modellel, állandó, vagy változó paraméterekkel, esetleg mindkettővel, vegyesen írjuk le a zárt rendszert. A mechanikai részrendszerek egyik alapvető problémáját okozza például a különböző súrlódások modellezése. Sokféle közelítés létezik, de az igényes minőségű szimuláció elengedhetetlen részét képezi az adott rendszeren történő mérés, és a keresett leíró függvény kísérleti meghatározása. A súrlódást modellezhetjük „b” csillapítási tényezővel, egy állandóval, ilyen a „Newton-i”, lamináris súrlódási modell, de a Coulomb súrlódás, vagy a Striebeck-effektus precíz leírása már körülményesebb. A súrlódó erő függhet a sebesség mellett, a hőmérséklettől, a hőmérséklet befolyásolja a súrlódási együttható értékét, és sok egyéb hatást ismerünk a tribológiából b(v,µ,T,…). Látható, hogy egy hőmérséklettől függő villamos vezetőképesség (ellenállás reciproka), amely egyenes analógiája a csillapítási tényezőnek, kevesebb gondot okozhat a modellalkotásnál.

A modellezési lehetőségek áttekintését – a teljesség igénye nélkül - segíti az alábbi táblázat:

Az áttekinthetőség érdekében a bevezetőben, a fejezetben szereplő technikai rendszerjellemzőket külön felsoroljuk.

Elsőrendű rendszerek jellemzői:

Rezgő rendszerek jellemzői:

A témával kapcsolatosan igen sok szakirodalommal, és többféle megközelítésben találkozhatunk. A mechatronika személetéhez igen közel áll H. Lutz és W. Wendt Taschenbuch der Regelungstechnik c. műve [1.2.], amely a modellezésre építve mutatja be a hagyományos és modern szabályozástechnika legfontosabb ismereteit.

1.3.1. Elsőrendű lineáris rendszerek jellemzői

Az elsőrendű lineáris rendszer időállandója a homogén differenciálegyenlet megoldásában jelenik meg. A levezetést az 5. fejezet fejezetben találjuk, itt csak az eredményt használjuk fel a fontos kapcsolódások bemutatására. Az időállandó összefügg a csillapítási kitevővel.

A megoldásban az „a” paraméter általános jelölés. A műszaki gyakorlatban a másik kettőnek van jelentősége. A „T” az időállandó, „σ=1/T” pedig a csillapítási kitevő (csillapítási exponens).

Ha van kezdeti (esetleg kiindulási) érték, és nincs gerjesztés, akkor az általános alak által kínált görbesereg helyére egy függvény lép lecsengő folyamatnál:

Technikai rendszereinkben nem minden esetben áll rendelkezésre a t=0⁺ időpillanathoz (jobboldali, un. kezdeti érték) tartozó érték, erről az 5. fejezet fejezetben egy gyakorlati példa kapcsán esik szó. A megoldás könnyen előállítható, ha a kiindulási érték és a kezdeti érték megegyeznek. Ez a feltétel technikai rendszerek esetében gyakran teljesül, mert a bekapcsolás időpillanatában az energiatároló lehet felöltött állapotban, és a feltöltöttséget jelző változó ilyen esetben nem zérus értékről indul.

Különleges gerjesztések esetében, ilyenek a Dirac impulzus és az ugrás függvény, újabban használt nevén „step function”. Ilyen gerjesztések esetében a számításokhoz különleges megfontolások szükségesek, ez a rendszertechnika egyik fontos területe.

A megoldás mutatja, hogy t=0⁺ és az időállandó között eltelő időben a megoldás függvény az x(0⁺) kezdeti értékről éppen annak e-ad részére csökken, majd újabb időállandónyi idő elteltével ugyancsak az előzőleg kapott érték e-ad részére:

Az időállandó tehát az elsőrendű rendszer viselkedését leíró egyik fontos jellemző. Szerepe az operátor, vagy körfrekvencia tartományba is „átnyúlik”, hiszen irányítástechnikából ismeretes, hogy az időállandó reciproka a letörési körfrekvencia. Az irányítástechnikai gyakorlatban szokás az elsőrendű rendszerek Bode diagramjait egyenes szakaszokkal közelíteni. A közelítő függvényen az amplitúdó átvitel logaritmusának húsz-szorosa (dB) a körfrekvencia értékéig állandó (un. arányos átviteli sáv), ettől kezdődően -20 dB/dekád meredekséggel bír. Ismeretes az is, hogy a letörési körfrekvenciánál az átvitel pontos értéke ~3 dB-lel kisebb, mint az arányos átviteli sávban mutatott érték. A ~3 dB méréstechnikai szemszögből már tekintélyes hibát jelent, mert ez a kimeneti jelszint ~30 %-os csökkenését jelenti a bemenetihez viszonyítva.

Az előzőekben említett arányos átviteli sáv fontos jellemzője az „A” arányos tényező. Ez az állandó a differenciálegyenlet „jobb” oldalán látható, az átviteli függvénynek pedig a számlálóját képezi:

Az „A” tényezőt erősítési tényezőnek is nevezik, ami nem egészen tükrözi a valóságot, mert erősítésről rendszertechnikai szempontból akkor beszélünk, ha a rendszerbe kívülről energiát viszünk be, és valóban erősítjük a bemenő jelet, A>1. Ugyanakkor passzív elsőrendű rendszernek is lehet arányos tényezője, csak jellegzetesen A≤1 értékkel.

A modellezési és tervezési gyakorlatban előfordul, hogy elhamarkodott és hibás következtetéseket vonnak le csupán azért, mert a villamos és a mechanikai rendszerek közötti analógiákat hibásan alkalmazzák.

A jelenség bemutatására a „kifutási” görbék és a mechanikai időállandók kérdését elemezzük.

A hajtóművel foglalkozó fejezetben részletesen bemutatjuk, hogy a valós hajtómű lényegében a következő ábrán látható fontos elemeket tartalmazza: K_H eredő rugómerevség, J₁ és J₂ bemenő és kimenő oldali tehetetlenségi nyomatékok, valamint ugyanezen oldalakhoz tartozó csillapítási tényezők, amelyek a fogsúrlódással és a csapágysúrlódásokkal vannak kapcsolatban.

Ezen a helyen a mechanikai és a villamos időállandó közötti különbség, és nem a hajtómű modelljének bemutatása a cél, ezért a hajtómű gráfjában látható elemeket itt nem részletezzük. A hajtómű részletes modelljeit a 7. fejezet fejezetben találjuk meg.

1.2. ábra - Hajtómű egyszerűsített gráf-modellje

Ha a kifutási próba vizsgálatánál eltekintünk a rugalmasságtól, ami teljesen indokolt, továbbá meghatározott M_be0 bemenő nyomatékkal „pörgetjük fel” a hajtóművet, akkor a gráf módosul. A bemenő oldali elemeket redukáljuk a kimenő oldaliakhoz, és az M_be0 nyomaték helyett értelemszerűen M_be=i·M_be0 forrásérték fog megjelenni.

1.3. ábra - A bemeneti oldali paraméterek redukciója

A keresztváltozó forrás „megtartásának” nem lenne értelme, mert ebben az esetben nincs rendszeregyenlet, a párhuzamos elemekre „rákényszerítjük” a szögsebesség forrás értékét.

A redukció után kapott értékek esetében – a megkülönböztetés érdekében - eltekintünk az indexektől.

A következő ábra már a hajtómű egyszerűsödött gráfját mutatja arra az esetre, ha az eredő rugómerevség kellően nagy ahhoz, hogy az eredő tehetetlenségi nyomatékkal ne tudjon lengő rendszert képezni. A mikromotorokhoz kapcsolt hajtóművek esetében gyakorlatilag ez a helyzet. A gráf alapján felírt csomóponti egyenletből kapott rendszeregyenlet az alábbi:

Az átviteli függvényt a Laplace transzformálás után kapjuk:

1.4. ábra - Hajtómű és motorral kapcsolt hajtómű „kifutási görbéi”

A gráf mellett a magára hagyott rendszer válaszait láthatjuk, Ω₀ kiindulási érték, és T=J/B időállandó mellett. A vizsgálatunk során T₁ az „induló” időállandó, ez a terheletlenül járó DC motor kifutási görbéjéhez van rendelve. A következő lépésben csatlakoztattuk a motorhoz a hajtóművet, és a T₂ időállandóval jellemzett kifutási görbét kaptuk. Látható, hogy a második esetben, a csekély mértékben megnövekedett az eredő tehetetlenségi nyomaték (J), és jelentősen megnőtt az eredő csillapítási tényező (B) kisebb időállandót eredményezett, a kimenő tengely forgása hamarabb áll le.

A mérésekkel kapott kifutási görbéket a hajtóművel foglalkozó fejezetben is megtaláljuk, de a könnyebb megértés kedvéért itt is szerepeltetjük.

1.5. ábra - Méréssel kapott kifutási görbék

Nyilvánvaló, hogy dinamikai szempontból nem a kisebb időállandójú mechanikai rendszer „jobb”. Ennek belátásához jobban szemügyre kell venni az átviteli függvény számlálóját! A fejezet címében nem véletlenül szerepel hangsúlyosan az „arányos tényező”. Azok az elsőrendű rendszerek, amelyek számlálójában az arányossági tényező egyenlő eggyel, valóban megítélhetők dinamikai szempontból pusztán az időállandóik alapján.

De vigyázat, ez a vizsgált mechanikai rendszer nem ilyen!

A különbség érzékeltetésére bemutatjuk azt a forgó mechanikai rendszert, amelynek átviteli függvényében az arányos tényező értéke egy. A mechanikai rendszer eléggé „iskolás” jellegű, mert ehhez hasonlót a gépészetben nem gyakran lehet találni. Ugyanakkor a mellette látható, és vele strukturálisan analóg (felépítésében hasonló) villamos analóg kapcsolás egy rendszeresen alkalmazott, passzív aluláteresztő szűrőt ábrázol. Meg kell jegyezni még, hogy vannak olyan egyszerű, valós termikus, fluid (akusztikai, pneumatikus és nyitott tartályú hidraulikus) rendszerek, amelyeket ugyanilyen kapcsolás ír le, gondoljunk a termoelektromos hőmérőre, vagy egy fojtáson keresztül töltött tartályra. Az alább bemutatott gépészeti modell csak akkor tekinthető ezekkel analógnak, ha a csapágy súrlódása elhanyagolható, és a tengelykapcsolónál csekély a slip (csúszás).

Megtévesztő lehet az is, hogy az ábrán látható két rendszernek a kifutási görbéhez hasonló az impulzus válaszuk (súlyfüggvényük). Ebben nincsen semmi csodálatos, hiszen a keresztváltozó forrás, és a mellette szereplő impedancia (Thevenin alak) átszámítható egyenértékű Norton alakká, és akkor újra visszakapjuk a kiindulásként látott párhuzamos elemekből és átmenő változó forrásból álló gráfot.

1.6. ábra - Analóg mechanikai és villamos egytárolós arányos rendszerek

Nézzük egymás mellett a két rendszer matematikai modelljeit, ti: átviteli függvényeit, amelyeket az impedancia módszerrel, keresztváltozó osztó alkalmazásával írtunk fel:

Ha az ábrán jelölt módon „kimerevítjük” a tengelykapcsolót, azaz B_tgk→∞, akkor az a villamos rendszerben az R→0 módosításnak felel meg, tekintettel arra, hogy B_tgk nem az ellenállással, hanem a vezetőképességgel analóg. Ha a jelölt módosításokat elvégezzük, akkor az átvitel a körfrekvenciától függetlenül 1:1 lesz, a harmonikus kimenő és bemenő jelek amplitúdói megegyeznek, fázistolás nincsen.

Mindkét átviteli függvény számlálójában „egy” szerepel, a mechanikai és a villamos időállandó „egyedül” fogja „minősíteni” az aluláteresztő szűrőket. Kis időállandóhoz nagy letörési körfrekvencia, és fordítva lesz rendelve, amint az alábbi Bode diagramon láthatjuk. Az arányos átvitel (kör)frekvencia sávjában a számláló értéke miatt természetesen zérus decibelt találunk.

Már az előzőekben is hangsúlyoztuk, hogy a gyakorlatban előforduló forgó mechanikai rendszerek nem azonosak a most bemutatott „iskolapéldákkal”.

A valós hajtóművek dinamikus viselkedése más, és ez az átviteli függvény számlálójának figyelembe vételével válik világossá.

Érthetővé válik a különbség, ha nem csak a kifutási görbe alakját, hanem a rendszer átmeneti függvényét és a Bode diagramot tesszük vizsgálat tárgyává.

1.7. ábra - Egytárolós arányos (PT1) tag amplitúdó menete A=1 esetén

A DC mikromotor és a valós, de rugalmasság nélküli hajtómű átmeneti függvényei a (1.8. ábra) ábrán láthatók. A DC mikromotor méréssel kapott kifutási görbéjén nem láttunk lengéshajlamra utaló jeleket. Ez azért van, mert a kisebb méretű motorok nyugalmi induktivitása (L) meglehetősen kicsi, a súrlódásos veszteségek finommechanikai szerkezetekben dominánsak, a mikromotort a gyártók is elsőrendű (egy energiatárolós) rendszernek tekintik. Így tehát a méréssel kapott kifutási diagramok is két egytárolós rendszert mutatnak.

A DC motorral foglalkozó fejezetben látni fogjuk, hogy a DC motor átviteli függvénye a kapocsfeszültség, mint bemenet, és a szögsebesség, mint kimenet között alakra megegyezik a nyomaték bemenettel gerjesztett hajtómű átviteli függvényével, ha a DC motor nyugalmi induktivitása elhanyagolhatóan kicsi. A levezetést az említett fejezetben találjuk, itt az összehasonlítás miatt csak az eredményt mutatjuk be:

,

ha L→0.

A következő ábrán olyan egytárolós arányos tagok átmeneti függvényeit látjuk, amelyek számlálójában az arányos tényező nem egységnyi, hanem jellemző a rendszerre.

Ilyen a fejezet elején említett motor, valamint a motorral egybeépített hajtómű átviteli függvénye is. A levezetést nem ismételjük, csak az eredményt:

Ha a fenti átviteli függvénnyel jellemzett rendszerre ugrás-szerű nyomatékváltozást adunk, vagy a DC motor egyszerűsített átviteli függvényére ugrás-szerű feszültség változást kapcsolunk, egységugrás bemenőjel formájában, akkor a válaszként kapott szögsebesség (fordulatszám) az alábbi diagramon látható módon fog változni (átmeneti függvény, step response). Tegyük fel, hogy az időállandókat a kifutási görbék segítségével állapítottuk meg. Az önálló motor időállandója T₁, míg a hajtóművel egybeépítetté T₂. Amint a fenti magyarázatból tudjuk, T₁>T₂.

A két átmeneti függvény szemléletes formában ad választ az eredetileg feltett kérdésre: Jellemezheti-e egy elsőrendű mechanikai rendszer dinamikai tulajdonságait az időállandó önmagában? Látszik, hogy nem, hiszen a nagyobb időállandójú motor ugyanakkora bemenő nyomatékra minden időpillanatban nagyobb szögsebességgel válaszol, nem beszélve az állandósult állapotbeli szögsebességről, amelyet egyértelműen a csillapítási tényező – azaz a súrlódás(ok) – határoz(nak) meg.

1.8. ábra - Átmeneti függvények összehasonlítása

A körfrekvenciától való függés is hasonló következtetést sugall. Ha a Bode diagramot vizsgáljuk, akkor látható, hogy a letörési körfrekvencia (ω_s=1/T) nem minden esetben perdöntő, hiszen a nagyobb arányos érték (az átviteli függvény számlálója) nagyobb átviteli tényezőt eredményez, még a kisebb időállandójú mechanikai rendszer törési körfrekvenciáján is. Annak ellenére, hogy ezen a szakaszon a nagyobb időállandójú rendszer diagramja már a „leszálló” ágban van.

1.9. ábra - Az amplitúdó menetek összehasonlítása

Mindezt arra az esetre feltételeztük, ha a két időállandó nem különbözik egymástól nagyságrendileg, és T₁ a nagyobb. Ha a Bode diagramon szaggatott vonallal jelölt szélsőséges eset fordulna elő, azaz T₁ már nagyságrendekkel nagyobb lenne, mint T₂, akkor az előbbi fejtegetés a (kör)frekvencia tartományban természetesen nem áll meg.

Az idő tartományban, az átmeneti függvényre továbbra is az vonatkozik, hogy azonos értékű gerjesztésre a nagyobb időállandójú mechanikai rendszer kimenőjelének értéke lesz a nagyobb.

1.3.2. Rezgő rendszerek jellemzői

Rezgő, alacsonyabb frekvencia tartományban lengő technikai rendszerek alatt olyan rendszereket értünk, amelyekben minimálisan két olyan energiatároló található, amelyek egymáshoz képest ±180° fázistolással tárolják az energiát. Azért nem írunk „eltérő” típusú tárolót, mert ez nem általánosan érvényes. Ha ugyanis a rendszer két eltérő típusú fizikai rendszerből áll, és a részrendszereket fordított váltó köti össze (pl. piezoelektromos átalakító), továbbá mindkét részrendszerben van egy-egy eltérő típusú energiatároló, akkor a fordító váltó tulajdonságai miatt nem jöhet létre rezgés (lengés). Ugyanis a fordító váltó által azonos oldalra átszámított energiatároló típusa szerint pont az ellentettjére vált, így azonos oldalon két azonos típusú energiatároló lesz, ezek pedig nem képesek lengésre. Ennek a gyakorlati levezetését láthatjuk a 6.1. szakasz fejezetben.

Azért szerepel a bevezető sorban a „minimálisan” kifejezés, mert természetesen lehet kettőnél több energiatároló is, de mindenképpen páros számú, és párosával eltérő típusú.

A legáltalánosabb eset a másodrendű rezgő (lengő) rendszer. A modelljeink között, az egyszerű, energiaátalakítót nem tartalmazó, másodrendű technikai rendszerek két rendszertípus kivételével előfordulhatnak. Ez a két rendszer típus a termikus és a pneumatikus rendszer, amelyekben csak kapacitív tárolók vannak, ennél fogva rezgés (lengés) nincs.

A másodrendű, lineáris rezgő rendszer általános modellje idő és operátor tartományban:

E formák közül valamelyik – több technikai rendszer modellezésének eredményeként – a jegyzet több fejezetében is előfordul.

A két matematikai modell „direktben” több fontos technikai jellemzőt tartalmaz, továbbiak pedig a felhasználásukkal levezethetőek:

	T	másodrendű rendszer időállandója, T=1/α, ahol α a csillapítatlan rendszer rezonancia körfrekvenciája
	ξ	csillapítás foka, csillapítási szám (dimenzió nélküli, mechanikus rendszereknél a Lehr csillapítás, jelölése: D)
	A	arányos tényező

A fenti jellemzőkből levezethető továbbá a

	Tp	lengési periódusidő, és
	ωr	csillapított rendszer rezonancia körfrekvenciája

Gyakran nem világos a tervezők előtt, hogy miért a fentebb megadott matematikai modell-formát alkalmazzák a szabályozástechnikában és a mechatronikában. Érdemes ezért az összefüggéseket röviden összefoglalni.

A matematikában egy másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet megoldásához homogén algebrai egyenletté átalakítják át a differenciálegyenletet (karakterisztikus egyenlet), bevezetve a „λ” sajátértékeket, majd megkeresik λ megoldásait:

A másodfokú egyenletből kapott megoldásokat exponenciális függvény kitevőjében látjuk viszont. Általános alakban (kezdeti érték nélkül) a homogén egyenlet megoldása az alábbi formákat öltheti:

A fent bemutatott változatok általános formák, egyelőre nem kötjük ezeket valós technikai rendszerekhez, ezért nem tettünk előjelet a megoldások valós része (σ) elé.

A formával kapcsolatosan feltett kérdésre azonban egyúttal itt a válasz is, a gyökoldó képlet formájában:

A gyökoldó képlet elemzésére most nem térünk ki, sem az előjelre, sem pedig a gyök alatti kifejezésben ξ nagyságára.

A rendszermodellezésben, a Laplace transzformáció bevezetésével, a sajátérték helyét „elfoglalja” az „s” komplex operátor. Az időtartománybeli megoldásokat az inverz Laplace transzformáció segítségével kapjuk, és ez a művelet az átviteli függvény nevezőjéből (karakterisztikus polinom) képzett egyenlet gyökeinek keresésével indul. A karakterisztikus polinomot egyenlővé téve zérussal, az alábbi formát és megoldásokat nyerjük:

Mechatronikai rendszerek esetében érdemes a gyököket részletesebben megvizsgálni, mert fontos összefüggéseket látunk az irányítástechnikával.

Passzív másodrendű rendszer esetében, a valós rész előjele a megoldásokban kizárólag negatív lehet.

Ugyanakkor, ha pl. egy zárt szabályozókör átviteli függvényének karakterisztikus polinomjára, és az abból képezett karakterisztikus egyenletre gondolunk, akkor előfordulhat pozitív előjelű valós rész, de nem minden következmény nélkül.

Ha ábrázoljuk a számmal megjelölt gyököket az operátor komplex síkján, akkor a probléma azonnal világossá válik:

Stabil rendszer kizárólag az lehet, amelynek gyökei negatív előjelű valós résszel rendelkeznek. Ez ugyanis az időtartományban negatív kitevőjű exponenciális függvénynek felel meg, ilyenek a 2, 4 és 7 számmal jelölt függvények. A fenti ábrán háttérszínnel jelöltük az instabil rendszert képviselő megoldásokhoz tartozó, „jobboldali” félsíkot, amelybe beletartozik a képzetes tengely is. A színezett mező jobboldali sarkain jelöltük, hogy a kiterjedés csak baloldalon van korlátozva. Azt, hogy a félsík a gyakorlatban átterjed a baloldalra is, a képzetes tengely baloldalán egy „biztonsági” sávval, jelöltük. A gyakorlat számára ugyanis ezen a sávon belül még ugyancsak kritikus egy rendszer viselkedése, mert túlzottan kicsi a csillapítása.

1.10. ábra - A karakterisztikus polinom gyökeinek ábrázolása az s-síkon

Nézzük ezek után, miként befolyásolja a megoldásokat ξ értékének nagysága. A gyakorlatban a következő eseteket vizsgáljuk:

• ξ>1 Túlcsillapított rendszer

  két negatív valós megoldás van, 2-es számmal jelölve:

• ξ=1 Kritikus csillapítás

  kettős negatív valós megoldás, 4-es számmal jelölve

• ξ<1 Alulcsillapított rendszer

  konjugált komplex gyökök, 7-es számmal jelölve

Ehhez a megoldáshoz a következőket kell hozzáfűzni:

A megoldás alakja: , amelyet az exponenciális függvénybe behelyettesítve az Euler összefüggések alapján az alábbi formát kapjuk:

Ezt a komplex függvényt csak a térben, időfüggő vektorként lehet elképzelni. Az idő tengely mentén előrehaladva, forog a vektor, miközben exponenciálisan csökken a vektor abszolút értéke. A gyakorlatban ennél a megoldásnál vagy a valós, vagy a képzetes részt szokták megadni. A 7-es számmal jelölt megoldás esetünkben a komplex részt testesíti meg.

A fejezet elején két olyan jellemzőt soroltunk fel, amelyeket származtatás, levezetés révén kaphatunk, ezek a T_p lengési periódusidő, és ω_r a csillapított rendszer rezonancia körfrekvenciája. Ez a két jellemző az alulcsillapított rendszerhez tartozik, azaz ξ<1.

Nézzük a gyökök megoldásfüggvényét erre az esetre:

Látható, hogy

A fenti képlet azt jelenti, hogy ω_r=α csak zérus csillapítási szám mellett lehetséges. Minden valós, csillapított rendszernek a csillapítatlanhoz képest alacsonyabb a rezonancia körfrekvenciája.

Ezen a helyen fontos megjegyezni, hogy a mechatronikában és irányítástechnikában a másodrendű rezgő rendszer Bode diagramjának rajzolásakor világosan meg kell különböztetni a három esetet. Gyakran előfordul, hogy Bode diagramként csak a ξ>1 értékhez tartozó görbét rajzolják fel, két törésponttal, egyenesekkel közelítve, ami nem mindig helyes. A paraméterek becslése, tapasztalatok, vagy mérési eredmények alapján a diagramot a megfelelő formában kell ábrázolni. Megjegyezzük, hogy a ξ=1 előfordulása valós technikai rendszerben igen ritka.

A csillapított rendszer lengési periódusideje és a másodrendű rendszer időállandója közötti kapcsolat is felírható:

A modellalkotás folyamatával kapcsolatosan már szó volt arról, hogy a mechatronikai rendszerek szabályozott rendszerek. Ez a megállapítás alapvetően a komplex rendszerekre vonatkozik, de nem zárja ki azt sem, hogy egyes komponenseket (szenzorok, aktuátorok stb.) is mechatronikai rendszereknek (részrendszereknek) tekintsünk. Ebben az anyagban mindkét rendszerformára látunk példákat.

A műszaki mechanika tudományterületén, világszerte túlnyomóan a Lagrange és Euler nevével fémjelzett energia módszert alkalmazzák dinamikai modellezésre. Ugyancsak az energia módszeren alapul a Rayleigh-módszer, amellyel elosztott paraméterű modellek kezelhetőek.

A Lagrange függvény a konzervatív rendszerekben fellépő két energiatípusra alapul. A Lagrange függvény általános koordinátákkal írja le a két energia összegét:

ahol

Lagrange mozgási egyenlete másodfajú rendszerre általánosan ismert, és alkalmazott modellezési célra a mechanika területén:

A fenti egyenletben „P” a rendszerben található energiatermelők és energiadisszipálók teljesítménye.

Feltételezve, hogy a potenciális energia nem függ a -től, a Lagrange egyenlet az alábbi alakba írható:

A módszer előnye, hogy lineáris és nemlineáris mechanikai rendszerek esetében egyaránt alkalmazható. Elvben nem kizárt passzív villamos hálózatok modellezése sem, de igen bonyolulttá, nehezen kezelhetővé válhat a feladat. Egy mechatronikában szokványos elektromechanikai rendszer esetében például az általános koordinátákban való megállapodás után meg kell határozni az energia, illetve teljesítményfüggvényeket. Vigyázni kell a Rayleigh-féle disszipációs függvény helyes alkalmazására. Végül a Lagrange egyenletből létrejön a villamos és a mechanikai szimultán differenciálegyenlet. Laplace transzformálás és mátrix-vektor műveletekkel akár az átviteli függvény is felírható.

A fentiek illusztrálására a korlátozott terjedelem miatt legyen elegendő három egyszerű példát bemutatni!

Kéttárolós mechanikai rendszer modellje

Elsőként nézzünk egy konzervatív (gerjesztetlen), két energiatárolós (másodfajú) transzlációs mechanikai rendszert, amely egy koncentrált tömegből és egy ideális (lineáris karakterisztikájú és veszteségmentes) rugóból áll:

Fizikai inga modellje

A második példában egy fizikai inga modelljét mutatjuk be. Ez a rendszer, mint szabályozott szakasz, inverz formában és különféle szabadságfokokkal, a mechatronika egyik kedvelt példája. A rendszer stabilitása kizárólag állapotszabályozás révén biztosítható. A negatív inga egyik technikai megvalósítása a világszerte elterjedőben lévő „segway” elnevezésű egytengelyű, kerekes jármű. Ugyanakkor inverz formában kedvelt példája a biomechatronikának is, hiszen az álló (és járó) ember - valamint jó néhány más élőlény - stabilitása kifejezetten csak ilyen módon modellezhető.

Ha az egyszerű fizikai ingát (síkban mozgó) tetszőleges „φ” szöghelyzetben meg kívánjuk állítani, akkor ehhez „M” forgatónyomatékra van szükség.

Az szabályozáshoz szükséges matematikai modell, a nemlineáris differenciálegyenlet, az energia módszerrel írható fel, ahol a forgáspont és a súlypont közötti távolságot „l” jelöli:

A potenciális energia a gravitációs erőtérben negatív előjellel jelenik meg. A P_M az a teljesítmény, amelyet a szabályozás révén a rendszerbe beviszünk, és P_S a nemlineáris súrlódás veszteségi teljesítménye.

A mozgásegyenlet nemlineáris és a csapágyazás valóságos állapotot közelítő súrlódási nyomatéka miatt nem állandó együtthatós. M_S a nemlineáris súrlódó nyomatékot jelöli:

DC motor modellje

A harmadik példa egy külső (villamos) gerjesztésű egyenáramú motor modellje, energia módszerrel. A motor u_g gerjesztő feszültsége állandó. A gerjesztő tekercs és az armatúratekercs fluxuskapcsolódása Ψ(φ), amely függ a rotor szöghelyzetétől. A motor amatúra ellenállása „R”, nyugalmi induktivitása pedig „L”. „J” a motor tengelyére redukált (erről a későbbiekben még esik szó) tehetetlenségi nyomaték. A motor csapágyazásából eredő súrlódási veszteséget a „B” csillapítási együtthatóval modellezzük, mert viszkózus súrlódást feltételezünk. Az általános koordináták a „q” villamos töltés és a „φ” mechanikai szögelfordulás. A motor armatúrájára „u_K” kapocsfeszültséget kapcsolunk. Potenciális energia nincs a rendszerben, mert nincs villamos kapacitás és nincsen mechanikai rugalmasság. Együtt van minden elem, amelyek segítségével az energia egyenlet felírható.

Az elektromechanikus rendszer összes kinetikus energiája:

Az energia disszipálók összteljesítménye:

Ezt a disszipációs teljesítményt felezni kell. A „P” teljesítmény parciális deriváltja ugyanis a általános sebességkoordináta szerint általánosított erőt ad, feltéve, hogy az általánosított erő maga nem függ a sebességkoordinátától. A disszipatív elemek esetében a Rayleigh-féle disszipációs függvényt kell behelyettesíteni, hogy a megfelelő általános erőösszetevőt megkapjuk:

Az elektromechanikus rendszerbe villamos oldalról „viszünk be” teljesítményt:

A Lagrange egyenleteket a két koordinátára külön-külön írjuk fel.

A megfelelő parciális deriválások elvégzése után a „q” koordinátára az alábbi egyenletet kapjuk:

A mozgási indukció révén a motorban keletkező un. „belső” feszültségről tudjuk, hogy a motor szögsebességével van összefüggésben:

Az egyenáramú motor esetében jó közelítéssel elfogadható, hogy a fluxus kapcsolódás szögfüggése állandó, a szakirodalom ezt nevezi gépállandónak, vagy nyomatékállandónak:

A Lagrange egyenlet a „φ” koordinátára:

A két Lagrange egyenlet összefoglalható két egymással összefüggő, elsőrendű differenciálegyenlet formájában is:

Ennyi elegendő az energia módszer szerepének tárgyalására, mert ennek a munkának nem feladata a műszaki mechanika modellezési módszereinek ismétlő jellegű bemutatása. Ugyanakkor elengedhetetlen, hogy mielőtt a mechatronika két igen hatékony modellezési módszerét – a hálózati, és az impedancia módszert - öt fizikai-műszaki rendszertípusra kiterjesztve, általánosítottan ismertetnénk, hangsúlyozottan felhívjuk a figyelmet ezeknek, a mechatronikában igen hatékony modellezési módszereknek a korlátaira is.

A villamos, és egyszerűbb feladatok esetében a hőtechnikai és az áramlástechnikai rendszerek (beleértve az akusztikát is) tárgyalási módját vizsgálva a szakirodalomban, gyakran a hálózati módszerekkel találkozhatunk, amelyek alapja zárt rendszerek esetében természetesen ugyancsak az energia és anyag megmaradás törvénye. A „zárt rendszer” fogalom kihangsúlyozása nem véletlen, tudjuk, hogy a zárt rendszer határait a modellezés kívánalmainak megfelelően, de mi jelöljük ki.

A mechatronikai összetett rendszereket hálózati és impedancia módszerrel fogjuk modellezni. Ezek a módszerek a mechatronikára jellemző öt fizikai-technikai rendszertípus közül csaknem korlátozás nélkül alkalmazhatóak a

        villamos hálózatok,

korlátozásokkal a

        hőtechnikai

        áramlástechnikai (folyadékos, pneumatikus és akusztikai)

és lineáris rendszerek esetén a

        mechanikai transzlációs és

        mechanikai rotációs

rendszerek leírásához.

A hálózati módszer természetesen az anyag- és energiamegmaradáson alapszik, és a módszer egy speciális „alfaja” az impedancia módszer, amely révén közvetlenül a rendszer átviteli függvényéhez jutunk. Az impedancia módszerrel jellegzetesen a villamosmérnöki gyakorlatban találkozhatunk, de bizonyos mértékben alkalmazzák egyéb műszaki területeken is. Egy leendő mechatronikai mérnöknek elengedhetetlen ismernie azokat a módszereket, amelyeket főként a villamosmérnökök alkalmaznak, hiszen a mechatronikai mérnök a gépészmérnökök mellett, a villamosmérnökökkel működnek együtt a legszorosabb formában. Lehetetlen, hogy az együttműködést éppen a „közös modellezési nyelv” hiánya akadályozza! Ez a közös modellezési nyelv pedig a hálózati és az impedancia módszer. Ebben a jegyzetben éppen ezért ezekkel a módszerekkel részletesen foglalkozunk, és kiemelt hangsúlyt helyezünk a gráfelmélet felhasználására a modellalkotás folyamatában, hiszen a struktúra gráfok a hálózati és az impedancia módszerek hatékony alkalmazásának eszköztárához tartoznak, különösen a mechanikai és termikus, valamint a vegyes, villamos-mechanikai-fluid-termikus rendszerek esetében. Ezeket a régebbi szakirodalomban elektromechanikus rendszerek kifejezés alatt találjuk meg, pl. A. Lenk: Elektromechanische Systeme 1. [2.1.] munkájában.

A vegyes technikai rendszerek hálózati és impedancia módszerekkel történő első igényes bemutatását R. H. Cannon: Dynamics of Physical Systems [2.2.] 1967-ban megjelent művében találhatjuk. A könyvben közölt ismeretanyag egyaránt alkalmas az egyetemi és a posztgraduális oktatásban való alkalmazásra. Ebben az időben még szó sem esett „mechatronikáról”, a tananyag a szabályozástechnikához elengedhetetlen modellezési munkához nyújtott segítséget. A rendszertechnikára alapuló modellezési szemlélet Európában sok helyütt csak igen lassan hódított tért, gépész területen általánosan jellemző volt a konzervatív elzárkózás. Németországban egyes műszaki egyetemeken viszonylag hamarabb, az 1970-es évek elején már kötelező jelleggel oktatták Elektromechanische Systeme, Elektromechanische Netzwerke, és hasonló elnevezések alatt. Magyarországon, a gépész oktatásban, az 1970-es évek végén került a „tűrt” kategóriában a szabadon választható tárgyak körébe, majd a 80-as években néhány szakirányban, az irányításelmélethez csatolva, alapozó, kísérő témaként a tantervekben is megjelent.

Jelen időszak mechatronikai témájú modellezési feladatait túlnyomó részben meg lehet oldani a hálózati és az impedancia módszerrel. Létezik azonban a mechanikai szakaszoknak egy szűkebb csoportja, amelyek modellezéséhez továbbra is csak az energia módszer alkalmazható. Ebbe a kategóriába tartozik a korábban, az energia módszernél említett „segway”, és minden hasonló, fordított ingát tartalmazó rendszer, hacsak nem elégszik meg a modellező a mozgás linearizálható tartományának szabályozásával. Ugyancsak energia módszerrel lehetséges csak modellezni az eddig megjelent legújabb „adaptronikai” rendszerek szakaszait, mert ezek többnyire nemlineáris, elosztott paraméterű rendszerek.

A fizika a rendszerek leírásához állapotjelzőket alkalmaz. Ezek lehetnek extenzív (megmaradó) és intenzív (lokális, helyhez kötött) mennyiségek, valamint ezek leszármaztatott mennyiségei. Tekintettel arra, hogy a modern szabályozástechnika általánosan az állapottér modellt alkalmazza, kézenfekvő, hogy technikai rendszereink modellezéséhez ugyancsak az energetikai állapotjelzőket használjuk.

A témához kapcsolódóan ajánljuk Korondi Péter Rendszertechnika című elektronikus jegyzetének tanulmányozását.

Az extenzív mennyiség olyan fizikai mennyiség, amelyeknek értéke a rendszer mennyiségétől – ami az alkotó részecskék számával arányos – függ. Ezzel szemben az intenzív mennyiség független a rendszer mennyiségétől, nagyságától. Az extenzív mennyiségek additívak, mindig előjelesen összegződnek.

Az extenzív mennyiségek többsége zárt rendszerben un. megmaradó mennyiség, ezek a mechatronikában szokásos rendszerekben az impulzus, a perdület, a villamos töltés és a térfogat (összenyomhatatlan folyadékok esetében), illetve a tömeg.

A termikus rendszereket külön kell kezelni, mert a hőtanban másként értelmezik a zárt és nyitott rendszer fogalmát. A hőtani entrópiát és energiát jellege miatt ugyan az extenzív mennyiségek közé sorolják, így pl. Bihari P.: Műszaki termodinamika című jegyzetében [2.3.], de ezek nem megmaradó mennyiségek. Ugyancsak nem megmaradó mennyiség gázok esetében a térfogat sem. A hálózati modellezési módszer ennek ellenére sikeresen alkalmazható egyszerűbb feladatok esetében.

Az extenzív mennyiségek mellett léteznek intenzív, lokális, helyhez „kötött” mennyiségek is. Ezek az előbbi rendszertípus sorrendben a következők: sebesség, szögsebesség, villamos feszültség, nyomás és hőmérséklet. Ezeket a mennyiségeket nevezik a hálózatelméletben kereszt-vagy kapocsváltozónak (across varable, Differenzvariable, vagy Klemmvariable).

A kétféle mennyiség szorzatával a rendszerek többségében energiát kapunk, kivétel a termikus rendszer, ahol a hőenergia árama (teljesítmény), azaz a hőáram az átmenő változó. A hőtechnikai rendszerben „akadozik” a többi rendszerféleségre felírt „megmaradó mennyiség” kategória alkalmazása, hiszen a hőtechnikai folyamatokban sem az entrópia, sem a hőenergia nem megmaradó mennyiség.

Ha a tér két pontjának lokális változói (intenzívek) eltérő értékűek, és a két pont között passzív elem (energiatároló, vagy disszipatív elem) helyezkedik el, akkor az intenzív mennyiségek különbsége χ₂-χ₁=Δχ kiváltja a passzív elemen a megmaradó mennyiség áramlását, áramát. Ezt a változót nevezik a hálózatelméletben átmenő változónak (flow variable, Flussvariable).

Az energiatárolás jelenségét a hálózatelméletben nem az energia típusa (potenciális, kinetikai), hanem az energiatárolásban szerepet játszó átmenő változó, vagy a keresztváltozó segítségével írjuk le.

Fontos kiemelni több alapvető különbséget a termikus és a többi rendszertípus között. Erre utal az (Táblázat 2.1) táblázatban látható vastagabb elválasztó vonal a termikus rendszer felett. Egy hőtani rendszer akkor zárt, ha a tömeg-kölcsönhatás kivételével minden más energia jellegű kölcsönhatás megengedett. A többi fizikai rendszertípus esetében azért könnyebb a modellezés zárt rendszerként (nem hőtani értelmezésben), mert ezek esetében a fizikai folyamtok a környezettel való hőcsere idejéhez képest lényegesen rövidebb idő alatt lezajlanak. A disszipatív elemek pontosan azért jelennek meg az elemtáblázatban, mert tudjuk, hogy a modellezett folyamatainkban az energia egy része visszafordíthatatlanul hővé alakul.

A termikus rendszerek igen összetettek, energia és anyag áramlása, továbbá átalakulása jellemzi ezeket. A folyamatok leírása állapotjelzőkkel történik, ezek a pillanatnyi anyag és energia eloszlási állapotokat tükrözik. Az állapot leírása a hőtanban makroszkópikus mennyiségekkel történik. A rendszertechnika hálózatelméleti módszerének segítségével csak egyszerűbb termikus feladatok modellezhetőek, erre említünk két esetet. Ilyen lehet például a hőveszteségek modellezése egy villanymotor esetében. Tudjuk, hogy működés közben mechanikai és villamos energia alakul át hőenergiává, és feladatunk annak meghatározása, hogy a motor állórészén, valamint alkatrészein miként tárolódik a hőenergia, és miként terjed a hőáram (hőteljesítmény). Ugyancsak jól modellezhető például egy termoelektromos szenzor dinamikus viselkedése is. A dinamikus jelleg nem villamos, hanem termikus eredetű, a szerkezet hőellenállásaival és hőkapacitásaival (energia tárolók) van összefüggésben.

A termikus rendszerben az extenzív mennyiség energia, pontosan hőenergia, és ennek következtében az átmenő változó a teljesítmény lesz. A többi rendszer típus esetében az extenzív és az intenzív mennyiségek szorzata ad energiát. A hőenergia áramlása (hőáram, teljesítmény) mindig a magasabb hőmérsékletű ponttól az alacsonyabb irányában jön létre. A termikus rendszerekben nem található olyan passzív elem, amely a hőteljesítmény időbeli megváltozása révén energiát lenne képes tárolni. Ezért a termikus rendszerekben nincsen átmenő változóval energiát tároló elem.

Hasonlóképpen nincsen a pneumatikus rendszerekben sem „induktív” jellegű energiatárolás, mert a jellemző üzemi nyomáskülönbségek mellett nem jöhet létre visszafelé áramlás. Szabad térben, az akusztikában a kétirányú áramlásnak a csekély nyomáskülönbség miatt nincs akadálya, ezért egy hosszú csőhöz kapcsolódó üreg együttesen rezonancia jelenséget tud mutatni (üregrezonátor).

Az extenzív és az intenzív mennyiségeket, a hozzájuk kapcsolódó átmenő és keresztváltozókat, valamint az energiatárolókat a következő táblázatban foglaltuk össze.

A változók származtatását az előző fejezetben mutattuk be, amikor a hálózati módszerek energetikai hátterét taglaltuk. Ezek szerint az intenzív mennyiségeket keresztváltozónak, az extenzív mennyiségek áramát pedig átmenő változónak tekintjük.

A keresztváltozókat és az átmenő változókat több külföldi és hazai szakirodalomban kiemelten kezelik. Fodor György a Lineáris rendszerek analízise című munkájában [3.1.] ezeket a mennyiségeket egyenesen „kanonikus változóknak” nevezi.

Az ideális források elengedhetetlenül fontosak a hálózati módszerek tárgyalásához, hiszen ezek adják a rendszerek gerjesztéseinek túlnyomó többségét.

Három forrás típust különböztetünk meg:

A forrásokat azért nevezzük ideálisnak, mert közös jellemzőjük, hogy ésszerű terhelések mellett megtartják előírt értéküket.

Az alábbiakban az energia átalakítókkal kapcsolatos, legfontosabb általános tudnivalókat foglaltuk össze. Az energia átalakítók konkrét elemzését az egyes példáknál találjuk meg (szenzorok, aktuátorok, mozgás átalakítók).

Az energia átalakítók elengedhetetlenül fontosak a komplex mechatronikai rendszerek leírásához, mert ezek teszik lehetővé a különböző rendszerrészek közötti folyamatok modellezését. Régebbi szakirodalmak ezeket az eszközöket az „elektromechanikus” rendszerek között tárgyalták, de ez természetesen erős szűkítés, mert minden, korábban felsorolt technikai rendszertípus között megtalálhatjuk az ideális és a valós energia átalakítás lehetőségeit.

Az ideális energia átalakító veszteségmentes, a bemeneti és kimeneti teljesítmények megegyeznek, a hatásfok 100%. Teljesen egyértelmű, hogy a valóságban ilyen eszközök nem léteznek. Minden energia átalakító tartalmaz, vagy tartalmazhat energia tárolókat és disszipatív elemeket. Sok esetben ezek az elemek az átalakító működéséhez elengedhetetlen alkatelemek. Fontos ugyanakkor kiemelni, hogy modellezésük során az energia átalakítást minden esetben egyetlen paraméterrel, dimenzióval rendelkező együtthatóval, vagy puszta számmal jellemezzük. Az átalakító részét képező minden passzív elemet a hálózat többi passzív elemével együtt vesszük figyelembe. Az energia átalakítás mindig kétirányú, de a fizikai jelenséget leíró törvény nem feltétlenül azonos, jó példa erre az elektrodinamikus átalakító.

Az energia átalakítók alapvetően négypólusok. Ennek ellenére lehetséges, hogy a bemeneti és kimeneti oldalnak van közös keresztváltozója (pl.: közös földpont), és ezzel az átalakító lényegében „hárompólussá” alakul. Jelölésük a gráf technikában két gráf él, az alacsonyabb keresztváltozó felé irányítottan, és a két élet szaggatott vonallal megadott ellipszis, vagy fektetett nyolcas köti össze. A kapcsolatot jelképező szaggatott vonal fölé (alá) szokás írni az átalakítót jellemző paramétert. Impedancia módszer esetében szabályos négypólust kell rajzolni, a „dobozba” (téglalappal jelzett átviteli tag) vagy az átalakító két egyenletét, vagy csak a paramétert szokás beírni. Az átmenő változók mindkét oldalon a tagba befelé mutatnak.

Három típus különböztethető meg:

Együtt van tehát minden olyan eszköz, amely a mechatronikai – jellemzően vegyes típusú – rendszerek hálózati és impedancia módszerrel történő, egyszerű leírásához szükséges: A változók, a passzív elemkészlet, a források és az energia átalakítók.

A 4. fejezetben néhány egyszerű feladaton mutatjuk be a hálózati és impedancia módszerek alkalmazását. Ezt követően a legfontosabb mechatronikai aktuátorok, szenzorok és mozgás átalakítók dinamikai elemzésére kerül sor külön fejezetekben. Az építőelemek bemutatását komplex mechatronikai, szabályozott rendszerek tervezése és szimulációja követi.

A fejezetben igyekeztünk tömören összefoglalni azokat az ismereteket, amelyekre a módszerek sikeres alkalmazása érdekében szükség van.

Az első példa igen egyszerű, két tárolós (másodrendű) rendszer. Az irányítástechnikában ezt a tagot PT2-vel jelölik (két tárolós, arányos tag). Ezen a példán ugyanakkor be fogjuk mutatni mindhárom matematikai modellt, az állapottér modell esetében ráadásul kétféle változatot is.

4.1. ábra - Torziós tengely modell-elemei és gráfja

Az ábrán egy viszonylag hosszú, elcsavarodásra képes tengely baloldali végén szögsebesség forrást látunk, amely például egy DC motor és a hozzá kapcsolt nagy módosítású hajtómű kimenetét jelképezheti. A tengely másik végén egy szíjtárcsa látható, amely a továbbiakban a forgó mozgást alakítja át egyenes vonalú mozgássá.

Ezt a váltót még nem vizsgáljuk a példában, erre később kerül sor, mert ebben a fejezetben, egyszerű eseteken (max. másodrendű rendszereken) mutatjuk be és hasonlítjuk össze a módszereket. A tengely forgását két végén gördülőcsapággyal biztosítjuk.

A gráf megszerkesztése a független keresztváltozók (csomópontok) kijelölésével kezdődik. Minthogy az irányított gráf élek mellett az adott elem paramétere van feltüntetve, világos, hogy ez az ábrázolási mód az időtartományban érvényes. Esetünkben 3 ilyen csomópont van, a tengely két csapágyazásánál és a referenciánál, amelynek szögsebesség értéke legyen zérus Ω₀=0. A forrás keresztváltozó, ezért az első csomóponthoz rendelt az Ω₁ szögsebesség a referenciához viszonyítottan ismert, előírt érték, hiszen ez a hajtómű kimenete. Az Ω₁ forrással párhuzamosan kapcsolt B₁ csillapítás (csapágy) nem játszik szerepet, mert a keresztváltozó értéke rá van „kényszerítve”. A három csomóponti változó közül csak egyetlen ismeretlen, az Ω₂. Ezt az egyenlet szám csökkenést jeleztük a csomóponti és hurok egyenletek számával foglalkozó fejezetben. Nem lehet tehát azt a gráf szabályt a műszaki példákban gondolkodás nélkül alkalmazni, miszerint „a csomópontok száma mínusz egy=lineárisan független csomóponti egyenletek száma”.

Legyen keresett az Ω₂ keresztváltozó, azaz a tárcsa szögsebessége. Tehát a fentebb leírtak miatt felírjuk Ω₂ csomópontra a csomóponti egyenletet.

Minden csomópontra, illetve szelvényre igaz, hogy az átmenő változók előjelhelyes összege zérus. Az általános átmenő változót célszerűen Φ-vel jelöljük, a példában ez a forgatónyomaték:

Az előjelek „önkényesek”, de a logikát a teljes gráf minden csomópontjára érvényesíteni kell. Azaz, ha a kifelé mutató irányított gráf élek előjelét pozitívnak választottuk, akkor a befelé mutatóké csak negatív lehet. Nincs akadálya annak sem, hogy egy csomópontba csak befelé, vagy csak kifelé mutassanak az irányított élek, de a kész rendszeregyenleten látni fogjuk, hogy az elgondolásunk nem volt helyes. Az irányítottság - a termikus rendszerek esetét kivéve - nem jelenti azt, hogy az átmenő változók csakis a nyíllal kijelölt irányba „folyhatnak” Ellenkezőleg. Az előjelek csak egy pillanatnyi, feltételezett állapotot rögzítenek, és lehetővé teszik az egyenletrendszer felírását.

A csomóponti egyenletbe behelyettesítjük a passzív elemek fizikai egyenleteit:

Ebben az esetben az egyenlet differenciálásával jutunk a rendszeregyenlethez, és Laplace transzformálás után az átviteli függvényhez, miközben „K” leosztásával a másodrendű rendszerekre jellemző alakot igyekszünk létrehozni:

Ha, amint a fejezet elején jeleztük, a paraméterek értékei nem állandóak, akkor a következő lépésben lehetőség nyílik a megfelelő függvények beírására.

Ettől kezdve azonban már csak digitális számítógépes szimuláció révén ismerhetjük meg a kimenőjel időbeli viselkedését.

Laplace transzformálás útján juthatunk az átviteli függvényhez:

Az átviteli függvény előállítása nem öncélú. A hagyományos szabályozókörök stabilitás vizsgálatai (zárt és felnyitott körökre vonatkozóak egyaránt) ezen a rendszeregyenlet formán nyugszanak.

A frekvencia átviteli függvényt (frekvencia menetet) az s=jω helyettesítés után kapjuk:

A függvényből abszolút érték előállítása után a logaritmus képzésével és 20-as faktorral való szorzással előállítható a Bode diagram amplitúdó „menete”, amelynek dimenziója a „dB” (decibel), az Arc képzés révén pedig a fázis „menet”:

Rendszeregyenlet nem csupán a differenciálegyenlet és az átviteli függvény lehet, hanem az állapottér modell is. Ez utóbbi forma – mint tudjuk – a modern szabályozástechnika alapja, és a digitális számítógépes szimulációk forrásnyelve is. Adott rendszer állapottér modellje többféle módon előállítható. Ha az n-ed rendű differenciálegyenletből, vagy az átviteli függvényből indulunk ki, akkor az állapottér modell (ÁTM) kanonikus alakját kapjuk. Ez a forma kedvező, ha az állapotszabályozás stabilitását kell beállítani, ugyanakkor nem feltétlenül vezet olyan ÁTM-hez, amelyben minden állapotjelző valós, és mérhető is. Ebben a mintapéldában ez még nem jelentkezik problémaként, hiszen a két állapotjelző Ω₂ és ε₂ (szögsebesség és szöggyorsulás). De, gondolatban emeljük csak meg a differenciálegyenlet rendszámát eggyel, és azonnal látni fogjuk, hogy a szöggyorsulás deriváltja már nem valós állapotjelző, és ennek folytán nem is mérhető.

Kanonikus ÁTM alak:

Az állapotjelzők nemzetközileg elfogadott jelölését alkalmazva átalakítjuk a differenciálegyenletet:

Ha „K” és „B” paraméterek nem állandóak, akkor a két elsőrendű differenciálegyenlet (un. Cauchy-féle normál alak) számítógépes szimulációval oldható meg. Ha a paraméterek konstansak, akkor az ÁTM mátrixos alakba írható:

A szokásos jelölésekkel:

Ha az állapottér modellt nem a kanonikus alakban kívánjuk előállítani, akkor a fizikai és mérhető állapotjelzőket, amelyek átmenő, vagy keresztváltozók, az integro-differenciál egyenletből kiindulva kell létrehozni:

A torziós rugómerevséggel rendelkező tengely energia állapotát az M_K átmenő változóval, mint állapotjelzővel írjuk le. A tárcsa energia állapotának leírására pedig Ω₂ keresztváltozó szolgál. Ezek az állapotjelzők fizikai „tartalommal” bírnak, és mérésük megfelelő szenzorokkal megoldott.

Így tehát egy lehetséges másik ÁTM az alábbi módon definiálható:

Fontos észrevenni, hogy mindkét ÁTM rendszermátrixában a főátló csak zérust, vagy negatív előjelű tagot tartalmaz. Ez egy passzív, nem visszacsatolt rendszer esetében elvárható is, hiszen ez a feltétele a stabilitásnak.

A modellezési módszerek által adható kép akkor válik teljessé, ha ezen a feladaton bemutatjuk az impedancia módszert is. A gráf egyszerűen átalakítható impedancia hálózattá, hiszen a gráfok a hálózatok leírására szolgálnak. Az egyes éleken téglalapok jelképezik az impedanciákat, az idő tartományban szokásos irányított gráf élek helyett. Paraméter helyett minden elemnél már az impedanciát kell feltüntetni, az ábrázolás operátor tartományban történik.

Az ábra baloldalán a rendszer impedancia hálózata látható, amelynél a bemeneti oldalon elhelyezkedő csapágy impedanciáját már figyelmen kívül hagytuk. A jobboldali képen a hálózat már szét van választva passzív és aktív részre. A passzív rész itt két párhuzamos impedancia eredője, mert közös keresztváltozójuk a keresett Ω₂.

4.2. ábra - Aktív és passzív részre bontás

Az aktív rész belső impedanciája s/K, az új forrás változatlanul Ω₁, mert terheletlen kapcsokon mérhető keresztváltozó érték (üresjárati) is ez. Keresztváltozó keresett, és keresztváltozó a forrás. Ebben az esetben az átviteli függvényt közvetlenül a keresztváltozó osztó adja:

Az impedancia módszer ebben az esetben - minden kétséget kizáróan - néhány lépésben azonnal eredményhez vezetett. A villamosmérnöki gyakorlatban ezért kedvelt módszer, de, amint látható, eredményesen lehet mechanikai rendszerek, sőt minden technikai rendszer esetében is alkalmazni.

Az első példában bemutatott, igen egyszerű, két tárolós (másodrendű) rendszert célszerű bemutatási céllal tovább vizsgálni. Elsőként bemutatjuk, hogy elegendő csupán a forrás típusát megváltoztatni, azonnal megváltozik a rendszer és így a gráf is. Legyen a példában a forrás az M_be forgatónyomaték. A B₁ csapágycsillapítás immár nem mellőzhető, hiszen az Ω₁ keresztváltozóhoz tartozó csomópontban a nyomatékforrás által szolgáltatott átmenő változó megoszlik két részre: egyrészt arra fordítódik, hogy „leküzdje” a csapágy súrlódó nyomatékát, másrészt továbbhalad a torziós tengelyen a tárcsa felé. Ebből adódóan más lesz a lineárisan független csomóponti egyenletek száma is, mert két „valós” csomópont jön létre.

Tekintettel arra, hogy az előző feladatban a csomóponti módszert már szemléltettük, ebben a feladatban a hurok módszert mutatjuk be, és célszerűen átmenő változóra keressük a rendszeregyenletet. Legyen ez a változó az M_K torziós nyomaték, mert erre a változóra később az impedancia módszer alkalmazása eléggé tanulságos lesz.

Az elektrotechnikában újabban, az átmenő változó forrás esetében használatos jelölés mellé egy nyilat tettünk. Ez a nyíl a hagyományos jelölési módnál a forrást jelképező körben helyezkedik el. Átmenő változó forrásokat ésszerűen, minden esetben a rendszer olyan csomópontjai felé kell irányítani, amelyekhez rendelt keresztváltozó nem a referencia. A gráf élek irányítottságán nem változtattunk. A hurok-felvétel „kaszkád”, (egymás után következő) sorrendben történt. Ez egy célszerű forma, mert szabályos lesz az impedancia mátrix, könnyen ellenőrizhető, nincs-e hiba a felírásban.

Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a gráfon látható hurok kijelölés nem kedvező, ha B₁, vagy B₂ jelű csillapítók nyomatékát kellene meghatároznunk. Ebben az esetben a keresett változó két nyomaték különbségeként adódik, több a számítási munka. Ahogy korábban már leírtuk, úgy kell kijelölni a hurkokat, hogy azt az elemet, amelyen egy átmenő változót keresünk, csak egy hurok érintsen.

Úgy határozunk, hogy a csomópontokból kifelé irányuló élek legyenek pozitívak. A gráfon látszólag három hurok látható, de az első hurok változója nem ismeretlen, ez a forrás, tehát ide nem írunk fel hurokegyenletet. Annál inkább nem lehetséges ez, mert M_be ismert, és ez nem keresztváltozó.

4.3. ábra - Hurkok kijelölése „kaszkád” módon

Ismert, hogy egy hurok körüljárása során, az elemeken megjelenő keresztváltozók előjeles összege zérust kell, hogy adjon. Az általános keresztváltozót χ-vel (görög chi) jelöljük.

Ennek megfelelően a két hurokegyenlet az alábbi formában jelenik meg:

Behelyettesítjük a fizikai egyenleteket, és előáll a szimultán differenciálegyenlet rendszer:

Amennyiben az állapottér modellt kell felírni, a legjobb, ha a szimultán differenciálegyenleteket felhasználva vezetjük be az állapotjelzőket. Ezek az energiatárolóknak megfelelően az alábbiak lehetnek:

Tehát a torziós tengelyen fellépő nyomaték és a tárcsa szögsebessége. Az állapottér modellre még visszatérünk, elsőként az átviteli függvényt határozzuk meg.

Ha az átviteli függvény, vagy a differenciálegyenlet meghatározása a cél, akkor a Laplace transzformálást követően, a szimultán differenciálegyenleteket mátrix-vektor egyenletbe foglaljuk össze:

A mátrix minden eleme impedancia, ezért impedancia mátrixnak szokás nevezni. Az egyenlet tulajdonképpen az általánosított Ohm törvény:

A mátrixban szabályosság fedezhető fel, köszönhetően a csomóponti egyenletek célszerű felvételének. A főátló minden eleme pozitív, és egy-egy ismeretlen változót megtestesítő csomópontot érintő impedanciákat foglalja magába. A főátlóra szimmetrikus a mátrix, és elemei negatívak. Az átló elemei azoknak az impedanciáknak felelnek meg, amelyek a hurokváltozóknak megfeleltetett hurkok közös elemei. A jobboldalon jogosan jelenítettünk meg keresztváltozó vektort, ugyanis a Thevenin ekvivalencia szerint az átmenő változó forrás és a mellette párhuzamosan kapcsolt impedancia egyenértéke keresztváltozó forrás lenne:

A következő lépés előtt eldöntjük, hogy mindkét változót (forgatónyomatékokat), vagy csupán az egyiket keressük? Ha mindkettőt, akkor az impedancia mátrixot invertálni kell:

Az inverz mátrix kiszámítása során meg kell határozni az eredeti mátrix adjungáltját és a determinánsát. Ez utóbbi művelet az oka annak, hogy a hálózatelmélet bevezetése során kikötöttük, hogy csak lineárisan független egyenletek írhatóak fel. Ellenkező esetben a determináns zérus lesz. Fokozottan ügyeljünk arra, hogy adjungált mátrix kiszámítása során az aldeterminánsok képzése után még egy sor-oszlop cserét is végre kell hajtani.

Amennyiben csak egy változó, esetünkben a torziós nyomaték M_K(s) keresett, célszerű a Cramer-szabályt alkalmazni. A számlálóban a determináns M_K-hoz tartozó, első oszlopát kell helyettesíteni az egyenlet jobb oldalán található bemeneti vektorral:

Közös nevezőre hozzuk az átviteli függvény nevezőjét, és az „s” operátortól független kifejezéssel beosztjuk az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét is. Érdemes ugyanis az átviteli függvény nevezőjét a szabályozástechnikai gyakorlatban alkalmazott formára alakítani, azaz az átviteli függvény nevezőjében az „s” operátortól független tag legyen =1. Ez a célszerű alak, mert egyszerű az állandósult állapot meghatározása. A Laplace transzformáció idevonatkozó szabálya szerint:

A „szabályos” alak létrehozásához általában be kell osztani a kapott nevező s-től független kifejezésével az átviteli függvény számlálóját és nevezőjét is. Tekintettel arra, hogy az „s” operátor dimenziója [r/s] (radián/secundum), mellette szorzóként kizárólag [s] (secundum=másodperc) dimenziót adó kifejezés állhat, és ebben az értelemben tovább, az operátor hatványainak megfelelően [sⁿ]. A „radián” dimenzió nélküli.

ahol

Minden számításnál, különösképpen a bonyolultabb kifejezések esetében „kötelező” elvégezni ezt a dimenzió vizsgálatot. Hibás eredmény, vagy bármely hibás köztes lépés esetén azonnal láthatóvá válik a hiba, ha a paraméterek dimenzióit SI mértékegységekben behelyettesítjük. Ezt a „normálást” a korábbi átviteli függvényeken is elvégeztük, a fenti eset már kissé bonyolultabb, ezért látványosabb az átalakítás. A forgatónyomatékok között felírt átviteli függvény dimenzió nélküli, hiszen azonos dimenziójú változók között teremt kapcsolatot.

Az átviteli függvényből az is leolvasható, hogy állandósult állapotban, tehát tranziens folyamatok lecsengése után, a csapágyak csillapításának aránya határozza meg a tengelyen megjelenő torziós nyomatékot, ahol természetesen a forrástól távolabbi disszipatív elem a mérvadó.

Az állapottér modell mindkét változatának meghatározása is tanulságos lépéseket tartalmaz. Egyrészt azért, mert a valós állapotjelzőkkel felírt változat eredménye nem egy lépésben adódik a szimultán differenciálegyenlet rendszerből. Másrészt pedig azért, mert az átviteli függvényből, visszavezetéssel adódó un. „normál” állapottér alak előállítása sem egyszerű, hiszen az átviteli függvény számlálójában van „s” operátor.

Nézzük először a valós (kanonikus) állapotjelzőkkel adódó formát, amelyek a feladat bevezetőjében bemutatott módon, az energiatárolóknak megfelelően az alábbiak lehetnek:

 A probléma megértése érdekében megismételjük a szimultán differenciálegyenleteket:

Az első egyenletből M_K-ra, a másodikból Ω₂ -re írjuk fel az elsőrendű differenciálegyenletet. Látható, hogy mindkét egyenletben M_J változót ki kell fejezni a két állapotjelző segítségével, mert ezek „idegen testek” az állapottér modellben. Elsőként a második egyenletből algebrai egyenletet formálunk, és kifejezzük M_J-t úgy, hogy az integrál kifejezést helyettesítjük az eredeti változóval, hiszen az állapotegyenlet integrált nem tartalmazhat. Az integrál minden esetben maga az egyik állapotjelző lesz, azaz kereszt-vagy átmenő változó. Ez a hálózati módszer korábban már jelzett, nagy előnye:

A kapott M_J változót behelyettesítjük az első szimultán differenciálegyenletbe, és rendezzük az M_K állapotjelző deriváltjára.

Az állapottér modell második (több ilyen típusú energiatároló esetében i-edik) egyenlete ilyen típusú feladatoknál az integrál kifejezésből (kifejezésekből) adódik.

Mivel M_J változó nem szerepelhet az egyenletben, ezért a korábban már felhasznált összefüggést ismételten alkalmaznunk kell az eliminálására:

Befejezésül felírjuk mátrixos alakban az állapottér modell főegyenletét valós, mérhető állapotjelzőkkel.

Az így kapott változatban nincs szükség segédegyenletre, ha csak az állapotjelzőket tekintjük kimeneteknek.

Nem így az átviteli függvényből visszavezethető forma esetében. Itt két probléma jelentkezik. Az első az, hogy az egyik állapotjelző fiktív változó, azaz nem fizikai mennyiség lesz. A második pedig az, hogy az átviteli függvényből felírt, Laplace transzformált egyenlet jobb oldalán a visszatranszformálás után a bemenőjel deriváltját kapjuk. Ezt azért kell kerülni, mert nem minden jeltípus deriváltja állítható elő nehézségek nélkül, márpedig az állapottér modellnek általános érvényűnek kell lennie. A gerjesztés (bemenet) deriváltként nem maradhat a modellben.

ahol helyettesítést alkalmaztunk.

Nem folytatjuk az inverz Laplace transzformációval, mert látható, hogy az eredmény zsákutcához vezetne. Jobb oldalon ugyanis idő tartományban megjelenne a gerjesztés deriváltja.

Helyette formális átalakítást végzünk el az átviteli függvényen, olyat, amely eredményeként egy, az új állapotjelzőket, valamint a kimenetet adó részt szét lehet választani szorzat formájában. Két átviteli függvényt kapunk, amelyek közül a második nyilvánvalóan nem „igazi” átviteli függvény, hiszen a számlálóban az operátor fokszáma magasabb, mint a nevezőben. E problémától a cél érdekében ezúttal eltekintünk:

Az első átviteli függvényből az állapottér modell főegyenlete, míg a másodikból a kimeneti, vagy segédegyenlet adódik.

Az átviteli függvényeket egyenlet formájára rendezzük, majd beszorzás után végrehajtjuk az inverz Laplace transzformálást:

Bevezetjük a „mesterséges” állapotjelzőket, feltételezve, hogy a deriváltak léteznek:

Megjegyezzük, hogy a „valóságban” x₁=M_K, és x₂=dM_K/dt, és ez utóbbi nem mérhető fizikai mennyiség. Ezért a jelző: „mesterséges”. Ez a függvény célszerűen numerikus úton (az esetleges hibákat tudomásul véve) közelíthető. Ugyanakkor arra is felhívtuk korábban a figyelmet, hogy az állapottér modell „normál” alakjának felhasználásával, sokkal egyszerűbb az állapotszabályozás stabilitásának beállítása, számítása.

Általános formában a nevezőben „a_n”, a számlálóban „b_m” együtthatókat alkalmazunk:

A második átviteli függvényből az állapottér modell kimeneti egyenlete lesz, a keresett mennyiséget egy kimenet (x₂) formájában kapjuk:

Mátrixos alakban felírva:

A főegyenletnek fent látható formáját nevezi a szakirodalom „normál” alaknak, és mint jeleztük, alkalmazása az állapotszabályozások esetében célszerű.

Az állapottér modell főegyenletének homogén megoldását a későbbiekben bemutatjuk két változatban, a fenti példához hasonló feladaton. A megoldáshoz azért választunk újabb feladatot, hogy a modellezés gyakorlására is lehetőség legyen.

A feladat megoldása a passzív rész meghatározása miatt impedancia módszerrel is igen tanulságos.

A következő ábrán a feladat impedancia hálózatát látjuk. Első lépésben ki kell jelölnünk a keresett változót, jelen esetben ez az összehasonlítás kedvéért ugyancsak az M_K torziós nyomaték lesz. Az impedancia hálózatot a keresett változónak alárendelve választjuk passzív és aktív részre. Vigyázni kell, mert a passzív rész nem csupán a tengely rugómerevségéből számított impedancia, hanem mindazon elemek, amelyek a szétválasztás után keletkezett kapcsok felől nézve „látszik”. Így tehát a rugómerevség impedanciájával sorosan kapcsolva figyelembe kell venni egy további eredő impedanciát is. Ez a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka és a vele párhuzamosan kapcsolt csillapítás (csapágysúrlódás modellezése) impedanciáinak eredője.

4.4. ábra - Aktív és passzív rész szétválasztása

Az aktív rész egyszerű Norton alak.

A terhelő impedancia ismeretében, az átmenő változó osztó („áramosztó”) segítségével közvetlenül felírható a keresett M_K(s)/M_be(s) átviteli függvény.

Az irányítástechnikában szokásos átalakítás után természetesen ugyanazt az átviteli függvényt kaptuk, amelyet a mátrix-vektor egyenletek kifejtésével:

Ha az átmenő változó forrással gerjesztett forgó mechanikai rendszert annyiban módosítjuk, hogy az Ω₂(s)/M_be(s) átviteli függvényt keressük, akkor be tudjuk mutatni a forrás egyenérték számítást is.

Majd ezt követően, az eredeti forgó mechanikai rendszerbe beépítünk egy csúszó tengelykapcsolót, és az így átalakított rendszeren bemutatjuk az aktív rész új forrás értékének meghatározását, ami figyelemre méltó lépéseket tartalmaz.

Ha Ω₂ keresztváltozó keresett M_be átmenő változó forrás hatására, akkor az osztó szabályok közvetlenül nem alkalmazhatóak. Ebben az esetben keresztváltozó osztó felírása lenne a legegyszerűbb forma. Ehhez át kell alakítanunk az aktív részt. Azt kell megvizsgálni, hogy mi az adott aktív rész Thevenin ekvivalense. A passzív rész a tárcsa és a csapágy impedanciájának párhuzamos kapcsolása.

A következő ábrán, bal oldalon látható az aktív rész, amelynek egyenértékű kapcsolását keressük. Az új, keresztváltozó forrás értéke az aktív rész terheletlen kapcsain (üresjárat) megjelenő keresztváltozó érték. Ebben az esetben az s/K impedancia nem játszik szerepet, mert terheletlenül nincsen elcsavarodás, így nincs torziós nyomaték, és nincs a két tengelyvég között szögsebesség különbség sem. Analógiaként képzeljünk el egy áramforrást, amellyel párhuzamosan egy ellenállás van kacsolva, és ehhez egy olyan induktivitás csatlakozik, amelynek egyik vége szabad. Áram nem folyik, így feszültségesés sem jöhet létre.

Az ekvivalens forrás értéke Ohm törvényével adódik:

4.5. ábra - Kiindulási kapcsolás ekvivalens forrás számításához

Az ekvivalens, új keresztváltozó forrás belső ellenállását kell következő lépésben meghatároznunk. Ezt a belső ellenállást az aktív rész kapcsai felől „benézve” kell kiszámítani. Tekintettel arra, hogy az átmenő változó forrás saját belső ellenállása elméletben végtelen nagy, szakadással helyettesítjük. Az ekvivalens forrás belső impedanciája ennél fogva a két impedancia soros eredője:

A keresett átviteli függvény keresztváltozó osztó segítségével most már megadható:

Az átviteli függvény azt mutatja, hogy stacionárius állapotban, tehát bekapcsolással járó tranziens folyamat lezajlása után a szögsebességet a két csapágy fogja „beállítani”.

Annak bemutatására, hogy az aktív rész új forrása azonos típusú források esetében is igényelhet egy-két számítási lépést, átalakítottuk a vizsgált rendszert. A tengelyt baloldalon meghosszabbítottuk, és az ismeretek egyidejű bővítése céljából beiktattunk egy elhanyagolható tehetetlenségi nyomatékkal (csak a példában, és nem a valóságban) rendelkező, szabályozható csúszással rendelkező tengelykapcsolót. Ez a különleges tengelykapcsoló csökkenteni képes a motor által okozott torziós lengéseket a hajtóművön, de a forgatónyomatékot maradéktalanul átviszi, hiszen látjuk, hogy a gráfban nincsen elágazás. Ilyen típusú hidrodinamikus tengelykapcsoló például a „Föttinger Kupplung”, amely szabályozható csúszást képes biztosítani. Ilyen jellegű tengelykapcsolókról a Braess és Seiffert [4.1.] gépjárművek konstrukciós kérdéseivel foglalkozó művében olvashatunk bővebben.

A szabályozható csúszást a „B” csillapítási tényezővel modellezzük.

4.6. ábra - Rugalmas tengely Föttinger tengelykapcsolóval

A következő ábra az impedancia hálózatot mutatja. A passzív rész a keresett keresztváltozóhoz tartozó két párhuzamos impedancia eredője (tárcsa és B₂-es jelű csapágy).

4.7. ábra - A modell impedancia hálózata

Az átviteli függvény keresztváltozó osztóval adható meg, persze, ehhez ki kell számítani Z_b és Ω_F(s) értékét. A keresett átviteli függvény:

4.8. ábra - Az eredmény felírásához célszerű alakra hozott impedancia kapcsolás

Az aktív rész új Ω_F(s) forrása természetesen nem egyezik meg az eredeti kapcsolás Ω₀(s) forrásával. Terheletlen állapotban a tengely nem tud megcsavarodni, szögsebesség különbség nem jön létre a két vége között, így nem vesszük figyelembe a számításnál. Az új keresztváltozó forrás ezért egy keresztváltozó osztóval adható meg:

Az új aktív rész belső ellenállását a szabad kapcsok „felől” a hálózatba „tekintve” számítjuk ki, miközben tudjuk, hogy Ω₀(s) saját belső ellenállása zérushoz tart, ezért rövidzárként helyettesíthető:

Behelyettesítve a keresztváltozó osztó képletébe, az alábbi formát kapjuk:

Végül a szabályozástechnikai átviteli függvényformára törekedve alakítjuk át a törtet:

Könnyen leolvasható az átviteli függvényből az a műszaki szempontból természetes állapot, hogy amennyiben elhanyagolható mértékű a tengelykapcsoló csúszása, akkor állandósult állapotban a tengely végén lévő tárcsa szögsebessége megegyezik a forrás (bemenet) szögsebességével.

Már említettük, hogy az impedanciákkal való számolás közepesen bonyolult rendszerekig meggyorsíthatja az eredményhez jutást. Az eddigiekben több esetet megvizsgáltunk, egyedül a szuperpozíció szabályának alkalmazása hiányzik.

A bemutatás érdekében az eredeti faladatot annyiban módosítottuk, hogy a tárcsához fékező nyomatékot rendeltünk hozzá, „-M_t” formában. A negatív előjel arra utal, hogy nem hajtó, hanem fékező nyomatékról van szó. A következő ábrákon látjuk a modellt, és az impedancia hálózatot.

4.9. ábra - Rugalmas tengely két gerjesztéssel

4.10. ábra - Impedancia kapcsolás két forrással

A passzív rész továbbra is a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka és a csapágysúrlódás alapján adódó, párhuzamos impedanciák eredője, ezeken, együttesen lép fel a keresett, keresztváltozó kimenet. Természetes, hogy egyrészt a baloldali keresztváltozó forrás értékével, másrészt a fékezőnyomatékkal állítható be a keresett tárcsa-szögsebesség.

A szuperpozíció elve szerint minden forrás hatását külön-külön vizsgáljuk a kérdéses impedancián (eredőn), majd a hatásokat előjel-helyesen összegezzük. Eközben a nem „aktív” forrásra úgy tekintünk, mintha annak saját belső ellenállását „látnánk”. Az Ω₁(s) forrás felől nézve a –M_t(s) nyomatékforrás szakadásnak „látszik”, míg a fékező nyomatékforrás felől vizsgálva az Ω₁(s) forrás rövidzárként viselkedik.

A hálózatot ennek megfelelően kell „átrajzolni”. Az átviteli függvény felírásához az egyik esetben keresztváltozó osztóra lesz szükség, míg a másik forrás felől „nézve” elegendő egy eredő impedancia számítás és egy Ohm-törvény alkalmazása.

4.11. ábra - Szuperpozíció két forrás esetén

A szuperpozíció elve két forrás esetén a matematika nyelvén megfogalmazva:

A nyomatékforrás felől nézve a következő eredő impedancia látható:

Végül a keresett változó az Ohm törvény alkalmazásával:

Teljesen nyilvánvaló, hogy a két átviteli függvény nevezője nem térhet el egymástól, hiszen ez az adott rendszer dinamikáját meghatározó karakterisztikus polinom. A számláló már más eset, ott az adott gerjesztés (bemenet) hatása figyelhető meg. Ha például adott kezdeti szögsebességgel forog a tárcsa, nincsen Ω₁ bemeneti szögsebesség, és a rendszer túlcsillapított, akkor a tárcsa szögsebessége állandó fékezőnyomaték rákapcsolása esetén –lengés nélkül - exponenciális függvényt követve csökken zérusra.

Összefoglalva az előbbieket látjuk, hogy több forrás esetében, a keresett kimenetre, minden forrás hatását külön-külön kell egy-egy átviteli függvénnyel leírni:

Az analízis módszereinek bemutatása után sor kerülhet majd a mechatronikában leggyakrabban előforduló szabályozott szakaszok, illetve szabályozóköri komponensek matematikai modelljeinek bemutatására.

Első lépésben emlékeztetünk arra, hogy egy változó esetében miként kapjuk időtartományban a megoldást.

Kiindulás az egyváltozós elsőrendű, lineáris, homogén differenciálegyenlet:

Az x(t) megoldáshoz integrálni kell mindkét oldalt, majd az „lnx” függvényt x-re kifejezni:

A fenti megoldás műszaki értelmezésében az integrálásból származó „C” konstans az x(t) függvény kezdeti értékének meghatározására szolgálhat.

Kihangsúlyozzuk, hogy az időfüggvények helyes megadásához nélkülözhetetlenek a jobboldali kezdeti értékek. Ha ezek nem állnak rendelkezésre, mert csak a baloldali, un. kiindulási értékek ismertek, akkor a kezdeti értékeket bizonyos gerjesztés típusok esetén ki kell számítani. A műszaki gyakorlatban általánosan elfogadható, hogy a kiindulási és a kezdeti értékek megegyeznek, hiszen a valóságban t(0^-) és t(0⁺) „időtartam” alatt nem tudunk egy valós rendszer állapotjelzőinek feltöltöttségén változtatni. Más kérdés, hogy elméletben a Dirac-impulzus révén létrejövő x(0+) érték kiszámítható. A kérdéssel, Fodor György [3.1.]útmutatása alapján, részletesen foglalkozunk a 6.3. szakasz fejezetben.

Az egyváltozós differenciálegyenletre kapott megoldás analógiájaként az állapotegyenlet homogén megoldása a következő formájú lesz:

A fenti exponenciális függvény ebben az alakjában a „reménytelen esetek” kategóriájába tartozik. Az exponenciális mátrix helyett, a „használható” formában való alkalmazást a Taylor sorfejtés teszi lehetővé. Ennek segítségével az exponenciális mátrixot végtelen hatványsorrá lehet átalakítani.

Ugyanakkor sajnálatos dolog, de hatványsorból csak kellően nagy gyakorlattal lehetséges a megfelelő harmonikus és aperiodikus összetevők szétválasztása. Ezért jeleztük már korábban, hogy a modellben a csillapítási tényezőt nullának választjuk, és így kapott sor csak periodikus függvényhez tartozó elemeket fog tartalmazni. A befektetendő munka mennyisége könnyen elképzelhető, ha a feladatunkban megadott 2x2-es mátrixnál nagyobbakat kell hatványozni.

Ezen a helyen érdemes megjegyeznünk, hogy az állapotszabályozások esetében döntően fontos irányíthatósági feltétel hipermátrixában ugyancsak az alapmátrix hatványai jelennek meg, ennek oka a Taylor sorban rejlik. Ez természetes, hiszen az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy a bemenetek segítségével (a hatványsor szorzója „”) lehetséges-e az állapotjelzőket megadott kezdeti értékről tetszőleges értékre vezérelni, miközben figyelembe vesszük a rendszer dinamikai tulajdonságait is. A dinamikai tulajdonságok pedig éppen az „” rendszermátrixba vannak „bekódolva”.

Az eredeti feladat rendszermátrixában zérussá tesszük a „b” csillapítási tényezőt, és ezzel átalakul a mátrix is, amint azt a jobboldali mátrixnál látjuk:

A sorozat felírásához szükséges mátrix hatványozást az alábbiakban mutatjuk be:

valamint

illetve

és

A kiszámított együtthatókkal már felírható a négy hatványsor első néhány tagja, amiből azonban már következtetni lehet a sor által helyettesített függvényre.

A mátrix Φ₁₂ elemének sorozatából kiemelhető, a Φ₂₁ elemének sorozatából pedig .

Tekintettel arra, hogy az átalakítás nem egyszerű, néhány fontos lépését bemutatjuk. Ismeretes, hogy a csillapítatlan rendszer rezonancia körfrekvenciája a következő módon definiált: .

A Φ₁₂ elemet alkotó sorozatot úgy kell átalakítani, hogy a sorozat minden tagjában megjelenjék az „α” érték a „t” változónak megfelelő hatványon. Ha a hatványsort beszorozzuk α-val, és kiemeljük a szorzatot, akkor a Φ₁₂ elemet alkotó sorozat az alábbi formájú lesz:

Hasonlóképpen járunk el a Φ₂₁ elemben található sorozattal is, de itt a kiemelés formát ölt:

A kiemelés után felismerhető, hogy a mellékátló mindkét sorozata sinus, míg a főátló sorozatai cosinus függvény tagjait alkotják. Ezzel megkaptuk az alapmátrixot, vagy rezolvens mátrixot idő tartományban:

Az időtartománybeli megoldást az alapmátrix segítségével és a kezdeti értékek ismeretében kapjuk. Ez a megoldás a differenciálegyenlet- rendszer homogén megoldásait tartalmazza:

Egyszerűség kedvéért kezdődjön a vizsgálat időpillanatban (azaz zérus kiindulási értékekkel), és így az alábbi formát kapjuk:

A kijelölt mátrix-vektor műveleteket kifejtve látható lesz az állapotjelzők időbeli viselkedése, ha a vizsgálatot a jobboldali kezdeti értékekről indítjuk:

és

Az eredményt a szokásos módon dimenzió ellenőrzésnek vetjük alá, és megállapíthatjuk, hogy az eredmény helyes.

Nézzük ezek után, hogyan kell eljárni, ha az állapotjelzők időfüggvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával határozzuk meg.

Az állapottér modell főegyenletének homogén részét Laplace transzformáljuk, és megfelelő átrendezés után kapjuk a megoldást. A deriválás Laplace transzformációs tétele tartalmazza az kiindulási értéket. A későbbiekben látjuk majd, hogy éppen ez a tétel teszi lehetővé a kezdeti értékek „automatikus” meghatározását a transzformáció alkalmazása révén [3.1.].

Ügyelni kell a mátrix-vektor műveletek sorrendjére, mert a sorrend nem felcserélhető.

A szakirodalomban az inverz mátrixot gyakran „alapmátrixnak” nevezik, és -vel jelölik. Szerepe a dinamikai tulajdonságok leírásában igen jelentős, mert a nevezője a gyököket (pólusokat) meghatározó karakterisztikus polinom. Amikor az állapottér modell (ÁTM) rendszermátrixát vizsgáltuk, megjegyeztük, hogy a stabilitás egyik feltétele a főátló elemeinek negatív előjele. Íme, a magyarázat az állításra, ami az kifejezésben rejlik. A rendszermátrix negatív előjelet kap, és így, az operátorral megszorzott egységmátrixból kivont, negatív előjelű főátló elemek mind pozitív előjelűek lesznek (lásd lejjebb, a példán). A Hurwitz stabilitási kritérium alapján ismert, hogy karakterisztikus polinom stabil esetben nem tartalmazhat nullánál kisebb együtthatót.

A feladat már ismert rendszermátrixával elvégezzük az első kijelölt műveletet:

A következő lépésben invertáljuk a kapott mátrixot! Ehhez meg kell határozni az adjungáltját és a determinánsát:

Ezekkel az inverz mátrix, és tulajdonképpen az állapotjelzők operátortérbeli függvényei is adottak. A keresett időtartománybeli alakhoz már csupán végre kell hajtani az inverz Laplace transzformációt.

tehát

Inverz Laplace transzformálás után a következő időfüggvényt kapjuk:

Látható, hogy a „kerülő út” használata ugyanazt az eredményt hozta, de lényegesen egyszerűbben. Ismételten le kell szögezni, hogy csillapított rendszer esetében – tehát, ha „b” nem zérus - az időtartományban az jelentene nagy gondot, hogy két sorozat szorzatának tagjaiból kellene szétválogatni, visszaállítani a harmonikus és az aperiodikus sor tagjait.

A másik állapotjelzővel is hasonlóan járunk el:

Végül a visszatranszformálás után ugyanazt a függvényt kapjuk, mint a sorfejtéssel:

A magyarázatot a kezdeti érték és a kiindulási érték közötti különbségre Fodor György többször idézett művében [3.1.]találjuk.

Láttuk, hogy a Laplace transzformáció alkalmazásával lényegesen egyszerűbben jutunk eredményhez. Fodor György a Laplace transzformáció további előnyeként mutatja be, hogy a transzformáció mintegy „automatikusan” előállítja az időtartománybeli megoldáshoz szükséges t(0⁺) kezdeti feltételeket is, elegendő a kiindulási értékeket ismerni.

A piezoelektromos átalakítók fordító váltó jellegű energia átalakítók . A fordító váltó két eltérő típusú fizikai rendszer eltérő típusú változói között teremt kapcsolatot (ld.: 2. fejezet).

A piezoelektromos effektus energia átalakítók formájában előkelő helyet foglal el a mechatronikai rendszerek szintézise, tervezése folyamatában. A piezoelektromos átalakító tökéletesen megvalósítja az energia átalakítás mindkét irányát, hiszen mechanikai bemenetre villamos kimenettel, illetve villamos bemenetre mechanikai kimenettel válaszol. Az első irány általában a szenzorokra jellemző, míg a második az aktuátorokra. Ezek megvalósítási formái igen változatosak.

Piezoelektromos szenzor olyan aktív, tehát működéséhez segédenergiát nem igénylő eszköz, amely alakváltozást alakít át villamos töltéskülönbséggé. Alkalmas tehát minden olyan fizikai, mechatronikai mennyiség mérésére, amely reprodukálható alakváltozást idéz elő a piezoelektromos átalakítón. Ilyenek például az erő, a nyomás, és a gyorsulás. Fontos tudni, hogy ez az eszköz statikus mérésekre napjainkig még nem alkalmas, mert az alakváltozás (kristály deformáció) hatására létrejövő töltések idővel elszivárognak, részben a kerámián, részben pedig a töltéserősítőn keresztül. Megfelelő tokozásban közvetlenül lehet vele erőt mérni, és ha szeizmikus tömeget helyeznek rá, majd házba foglalják, akkor a ház gyorsulása detektálhatóvá válik. Ez a régóta ismert piezoelektromos gyorsulásérzékelő elve. A szeizmikus tömeg f_a(t)=ma gyorsulással arányos tömegerőt hoz létre, amely erő a kerámiát deformáló rugóerővel f_pie(t)=kΔx tart egyensúlyt. A Δx elmozdulás különbség a ház és a szeizmikus tömeg közötti relatív elmozdulás, vagyis alakváltozás. Amint a modell bemutatásánál látni fogjuk, az alakváltozáshoz szükséges erőt a gyorsulás, mint bemenet hozza létre. A hatására kialakuló piezo-feszültség, a kimenő mennyisé. Ezt a gyorsulásérzékelőt a későbbiekben részletesen elemezzük. A piezokerámia, mechanikai szilárdsága miatt, nélkülözhetetlen az extrém nagy nyomások mérése során, pl. belsőégésű motorok hengereiben. Az átalakító anyaga régebben a természetes kristályok (kvarc, turmalin, Rochell só) köréből került ki, napjainkban azonban az báriumtitanát, ólomtitanát és ólomcirkonát kerámiákat a nagyobb érzékenységük miatt alkalmazzák. Ezeket porkohászati úton állítják elő, majd megfelelő elektromos térerő segítségével állítják be a piezoelektromos dipólusokat a kívánt irányba. A piezokerámia „n_F” átalakítási tényezőjét négy paraméter alkotja. Az indexben lévő „F” a fordító váltó jellegű tulajdonságra utal.

Az összefüggésben „K_p[C/N], vagy [m/V]” a piezoelektromos együttható, „l” a kerámia vastagsága, „A” a felülete, ε_r a kerámia relatív permittivitása. Néhány irodalomban a piezoelektromos anyagra jellemző tényezőket „e_p” együtthatóként foglalják össze. A fordító váltó itt látható képletét a későbbiekben a fizikai egyenletekből fogjuk levezetni. Az energia átalakítás iránya megfordítható. Ezt a második jelenséget aknázzák ki, ha a piezokerámia segítségével aktuátorokat akarnak létrehozni. Ezek közül a legismertebb a piezomotor, amely kereskedelemben kapható eszköz, lineáris és forgó mozgások létrehozására a nanométeres tartománytól a néhány mikrométeresig. Mobiltelefonjainkban, elektroakusztikai átalakítóként, a rezgő piezo tárcsa hangszóró szerepét játssza el, azzal együtt, hogy frekvencia átvitele korlátozott, de a beszédhang átvitelére alkalmas. Az autóipar ma már elképzelhetetlen villamosan vezérelt piezoelektromos adagoló nélkül (mechanikai alakváltozás).

Nem szabad ugyanakkor arról sem elfeledkezni, hogy a kerámia felületein egy fémréteg segítségével gyűjtik össze a keletkezett töltéseket, és ehhez csatlakozik a villamos vezeték is. A kerámia, mint villamosan szigetelő anyag a fémrétegek között egy C_p kapacitású piezo-kondenzátort képez, ezt a modellezésnél figyelembe kell venni. Később látni fogjuk az egyenletekből, hogy ennek a kapacitásnak a növelése mechanikai oldalon a rendszer rugómerevségének növekedését eredményezi, hiszen fordító váltóról van szó, és ebben az esetben a „két oldal” energiatárolói típus szerint ellentétükre „váltanak” át.

Foglaljuk össze egyenletek formájában a piezoelektromos energia átalakítót.

Az energia átalakításra jellemző fizikai összefüggések a szakirodalomban megtalálhatóak, itt csak egyet említünk, pl. A. Lenk: Elektromechanische Systeme Bd. 2. [6.1.]:

A két egyenletben az alábbi jelöléseket alkalmaztuk:

A második egyenlet dimenzió nélküli, ezért van szükség az „K_p” piezoelektromos együttható kétféle dimenziójára, és az ezek közötti azonosság bemutatására.

Ha az átalakító két egyenletét úgy vizsgáljuk, hogy keressük a mechanikai és a villamos oldalak közötti összefüggéseket, akkor a két egyenlet egyszerűbb alakba írható:

Tehát a kerámia (piezoelektromos anyag, legtöbbször kerámia) kontaktust adó fémréteg fegyverzetein létrejövő „P” töltéspolarizáció a piezoelektromos együtthatóval és a kerámián létrehozott „σ” mechanikai feszültséggel függ össze. A kerámia mechanikai alakváltozása viszont a piezoelektromos együttható révén az elektromos térerővel függ össze.

Adott minden az átalakító szokásos módon, átmenő és keresztváltozókkal való leírásához. A keresett alakhoz átalakítások és helyettesítések révén jutunk el.

A polarizáció adott „A” felületen megjelenő „Q” töltéskülönbséget jelent. Ha a töltésre fejezzük ki az első egyenletet, és figyelembe vesszük, hogy a töltés a fémfelületek miatti un. piezo-kondenzátor fegyverzetein jelenik meg, úgy ezek között „u_p” villamos feszültség alakul ki:

Az átalakító első egyenlete mutatja, hogy rendszer típus váltás mellett változó típus váltás is történt.

Az átalakító második egyenletében az alakváltozást „Δx” fogja jelölni, a kerámia nyugalmi hossza pedig marad „l”. Átrendezés után az alábbi forma jön létre:

Az elektromos erőtér hatására létrejövő eltolási áramsűrűség „J_d”.

Definíció szerint: , továbbá az áramsűrűség és az áram kapcsolata .

Ha a második átalakító egyenletét idő szerint deriváljuk, akkor az alakváltozási sebesség és az eltolási áramsűrűség közötti kapcsolatot kapjuk:

Figyelembe véve az áram és az áramsűrűség közötti kapcsolatot, amely lényegében a kerámia felületével függ össze, végül a következő alakhoz jutunk:

Immár az átalakító második egyenlete is azokat a jellegzetességeket mutatja, mint az első.

Írjuk fel végezetül a két átalakító egyenletet olyan formában, hogy szokás szerint az egyik oldalon a mechanikai, a másikon pedig a villamos változók szerepeljenek:

Az átalakító egyenleteiben a változókat kisbetűvel jelöltük, utalva arra, hogy ezek időbeli változók. Látható, hogy két eltérő típusú fizikai rendszert úgy köt össze a piezoelektromos átalakító, hogy az összekapcsolt változók ellentétes típusúak.

Az energia átalakító átalakítási tényezője:

Megjegyezzük, hogy a különféle szakirodalmak a fordító váltó átalakítási tényezőjét másként is definiálhatják. Előfordul, hogy a fent látható összefüggés reciprok értéke az átalakítási tényező. A lényegen ez nem változtat.

Rendkívül fontos meggyőződnünk arról, hogy az eddig felírt egyenletek dimenziójukat tekintve helyesek-e? A „K_p” piezoelektromos együtthatónak két dimenzióját is láttuk: C/N és m/V.

Elsőként ellenőrizzük ezek azonosságát:

Majd megvizsgáljuk a fordító váltó átalakítási tényezőjének dimenzió helyességét:

Mindkét esetben helyes eredményeket kaptunk, az átalakítási tényezővel egymásba átszámíthatjuk az eltérő típusú rendszerekhez tartozó impedanciákat.

A dinamikai tulajdonságok tervezésének bemutatására nézzük először a piezoelektromos gyorsulásérzékelő szerkezeti vázlatát és az abból megszerkeszthető gráfját. A műszerházban látható szeizmikus tömeget vagy csavarkötéssel, vagy nagy merevségű rugóval szorítják a piezokerámiához. Csavarkötés esetén, a kerámia közepén furat található. A szerkezeti vázlaton látszik, hogy 3 független keresztváltozó definiálható, egy a referencia, egy a műszerház sebessége, ami a referenciához viszonyítva a bemenő mennyiség integráltja (gyorsulást mérünk), és a szeizmikus tömeg referenciához viszonyított sebessége.

6.1. ábra - Piezoelektromos szeizmikus gyorsulásérzékelő modellje és gráfja

A fordító váltót a ház és a tömeg sebessége közé kell kötni, hiszen a gyorsító erő (F_a=m·a) hozza létre a kerámia deformációját a tömeg és a műszerház fala között, és ezzel az „u_p” kimeneti feszültséget. Ez a feladat annak illusztrálására is jó, hogy nem szabad mechanikusan szerkeszteni a gráfokat. Jelen esetben a fordító váltó bal oldalán a gráf éle nincs a referenciához kötve.

A rendszer annyira egyszerű, hogy a megoldáshoz kínálkozik az impedancia módszer. Az eredeti bemenet keresztváltozóból származtatott mennyiség (gyorsulás), a kimenet pedig az átalakító egyenletével adódik a ház és a szeizmikus tömeg közötti alakváltozási sebesség (kerámia alakváltozása) felhasználásával. A jobb oldalon egyetlen villamos elem, a kerámia villamos kapacitása szerepel. Éppen ezért célszerűen ezt a kapacitást számoljuk át egyenértékű mechanikai elemmé. Az átszámítás módját az energia átalakítók általános tárgyalásánál már megmutattuk. Az impedanciák közötti átszámítás érdekében osztjuk egymással az átalakító két egyenletét:

Ezek szerint olyan energia tárolókat kell összeválogatnunk, amelyek esetében az „s” operátor egyszerűsítése révén eltűnik a paraméterek közötti átszámítás képletéből. A kondenzátor villamos impedanciája 1/sC, ehhez csak olyan mechanikai admittancia párosítható, amelynek a nevezőjében van az operátor:

Ezek szerint a piezo-kondenzátornak, a mechanikai oldalon, egy rugómerevség felel meg.

Az energia tárolók ellentétes típusra való „fordulását” tetézi az, hogy a dualógia (duálisan analóg) szabályai miatt a két oldalon szereplő impedancia kapcsolások is ellenpárjukra váltanak. Sorosból párhuzamos és fordítva lesz az ellenkező oldalon. Ennek következtében a kapacitásból számított rugómerevség a mechanikai rugómerevségekkel párhuzamosan kapcsolva, azok eredő értékét növeli:

Ezek után már felrajzolható a legegyszerűbb impedancia hálózat, és felírható a keresztváltozó osztó, mint implicit átviteli függvény.

6.2. ábra - Az átviteli függvényhez „vezető” legegyszerűbb kapcsolás

A „V_ki(s) alakváltozási sebesség az átalakító egyik egyenlete segítségével villamos mennyiséggé számítható át, és ez az eltolási áram „I”.

Tudjuk, hogy az áram a töltés idő szerinti deriváltja, valamint azt, hogy a töltések révén a „C_p” piezo-kapacitás fegyverzetein létrejövő feszültségkülönbség „U_p”, éppen a keresett villamos kimenet:

Behelyettesítve a kapott átviteli függvénybe:

És végül, a valójában keresett átviteli függvényt kapjuk, gyorsulás bemenetre és villamos feszültség kimenetre:

A modell helyességét legegyszerűbben dimenzió analízissel ellenőrizhetjük. Az első dimenzió egyenlet az átviteli függvény bal, a második a jobb oldalának dimenzióját mutatja:

Dinamikai szempontból a piezoelektromos gyorsulásérzékelő másodrendű rendszer, un. PT2-tag. A méréstechnikában szokásos a Bode-diagramot normált formában megadni, így látjuk ezt az adatlapokon is. Ez azt jelenti, hogy a frekvencia-függő átviteli tényezőt |G(ω)| egy igen alacsony frekvencián mért átviteli tényezőre |G(ω=ω_ref)| vonatkoztatják, és így egyrészt dimenzió nélküli lesz a Bode-diagram függőleges tengelye, másrészt a görbe a zérus dB szinten indul. Mindaddig, amíg a görbe ±0.1 dB értékkel nem tér el a vízszintestől – ez mintegy ±1% hibát jelent, - az eszköz átvitelének arányos szakaszán „vagyunk”, és a mérés az adott frekvenciatartományban lehetséges. Azt a frekvenciát, ahol az eltérés meghaladja a ±0.1 dB értéket, a mérési tartomány felső határfrekvenciájának nevezzük. A bevezetőben már jeleztük, hogy ez a felső határfrekvencia magas lehet, esetenként, akár f_f=50 kHz (vagy ω_f=50·2π r/s), ugyanakkor hátrányos, hogy alacsony frekvenciás gyorsulások mérésére az eszköz nem alkalmas a töltések elszivárgása miatt. Használatba vétel előtt meg kell győződni a gyorsulásérzékelő és a hozzá kapcsolt töltéserősítő működési frekvenciatartományáról.

6.3. ábra - Brüel&Kjaer gyártmányú piezoelektromos gyorsulásérzékelő adatlapja

A modellezést három fontos aktuátorral folytatjuk. Tekintettel arra, hogy az előzőekben bemutatott piezoelektromos szenzor fordító váltót tartalmazott, didaktikai okok miatt az aktuátorok közül is azt vesszük elsőként, amelyik fordító váltóval épül fel.

A pneumatikus és hidraulikus átalakítók fordító váltó jellegű energia átalakítók. A fordító váltó két eltérő típusú fizikai rendszer eltérő típusú változói között teremt kapcsolatot (ld.: 2. fejezet).

A mechatronika egyik legfontosabb építőeleme a munkahenger. A hidraulikus munkahengereket kifejezetten erő, energia átvitelére tervezik, és működtetésük folyadék térfogatárammal, míg a pneumatikus munkahengerek működtetése a sűrített levegő nyomásával történik. A két aktuátor forrása tehát eltérő típusú. A pneumatikus munkahengerek (lineáris és rotációs) ugyancsak képesek az elektromechanikus rendszerekre jellemzőtől nagyobb erők kifejtésére, de túlnyomórészt csak „digitális” üzemmódban alkalmazzák őket, a lökethossz tetszőleges pozíciójában megállítani csak igen körülményes szabályozó rendszer segítségével lehet. Ilyen a szervopneumatikus pozicionáló, amelynek egy megvalósítási formáját a 18. fejezet fejezetben találjuk.

6.2.1. Hidraulikus munkahenger modellje

A működési vázlaton látható, hogy legegyszerűbb lineáris forma egy hengerből és a dugattyúhoz csatlakozó rúdból áll. A beömlő csonk áramlási ellenállása nem játszik szerepet, mert átmenő változó forrásból térfogatáram van rákényszerítve. A henger belsejének folyadék kapacitása zérus, mert a közeg összenyomhatatlan, a fluid oldalon energiatárolás nincs.

6.4. ábra - Hidraulikus munkahenger modellje és gráfja

A gráf egyszerűsíthető, a „q_v” bemenőjel teljes egészében megjelenik a fordító váltó bal oldalán. A váltó 2 egyenlete közül az, amelyik a térfogatáram és a dugattyú sebesség között írja le a kapcsolatot, megadja a mechanikai oldal sebesség forrását. Ilyen módon a mechanikai oldal elemei sem játszanak szerepet, hiszen a referenciától eltérő csomópont keresztváltozójának értékét előírjuk.

A munkahenger, mint fordító váltó egyenleteinek felírása nem igényel hosszadalmas levezetéseket, hiszen a változók közötti kapcsolat közismert. Annyi kiegészítés szükséges, hogy az erő és a nyomás közötti összefüggés tartalmaz egy negatív előjelet. Ez a csomóponti egyenletek felírása során nélkülözhetetlen, és egyben utal arra, hogy az erővektor és az „A” felület normálisa ellentétes irányúak.

A hidraulikus munkahenger dugattyújának sebességét és elmozdulását az alábbi összefüggés írja le:

Amint a következő ábrán is látjuk, a hidraulikus munkahenger integráló típusú tag, amennyiben a dugattyú elmozdulását választjuk kimeneti változónak, és a bemeneti mennyiség a munkahengerre kapcsolt állandó térfogatáram, egységugrás-függvény formájában.

6.5. ábra - Hidraulikus munkahenger átmeneti függvénye

6.2.2. Pneumatikus munkahenger modelljei (átviteli függvény és ÁTM)

Lényegesen bonyolultabb a helyzet, ha a pneumatikus munkahenger modelljét akarjuk meghatározni. A rendszer fluid oldalán megmarad a belépő csonk (szűkület) által előidézett áramlási ellenállás, és megmarad a henger üregének energiatároló képessége is. A forrás, mint már jeleztük, nyomás, tehát keresztváltozó.

6.6. ábra - Pneumatikus munkahenger gráfja

Mechanikai oldalon a tömeg és a dugattyú tömítései által létrehozott, nem kis értékű csillapítás az identifikálható két elem. A két energiatároló, a fliud kapacitás és a tömeg típusra azonosak lennének, de a két rendszerrész közötti fordító váltó miatt másodrendű lesz a rendszer.

Elsőként impedancia módszerrel vezetjük le a rendszer átviteli függvényét, mert az átszámítás tanulságos. A keresett kimenet a dugattyú sebessége, illetve elmozdulása, tehát célszerű a pneumatikus rendszerrész elemeit és forrását átszámítani a mechanikai oldalra. Annál is inkább, mert ez az átszámítás jól mutatja a dualóg rendszerek esetében adódó feladatokat. A végső, legegyszerűbb alak egy keresztváltozó osztó lesz. A végső hálózat terhelő impedanciája a mechanikai rendszerrészben látható két párhuzamos impedancia eredője.

6.7. ábra - Pneumatikus munkahenger impedancia hálózata

Az egyszerű keresztváltozó osztó kapcsolást mutatja a következő ábra. Az aktív rész „Z_b” belső impedanciáját és az új „V₀”keresztváltozó forrást a következő lépésekben fogjuk meghatározni.

6.8. ábra - Az átviteli függvényt adó legegyszerűbb kapcsolás általános impedanciákkal

Az átviteli függvény formájában megadott modell az alábbi lesz:

A pneumatikus impedanciák átszámításához a már ismert módon kell a fordító váltó egyenleteit felhasználni. Az átalakító egyenleteit Laplace transzformált alakban írjuk fel:

A külső nyomást a vizsgálat idejére állandónak, sőt referenciának tekintjük. Mindkét oldalon elvégezzük az osztást, amelynek eredményeként a mechanikai oldalon admittanciát, a pneumatikuson impedanciát kapunk:

Feladatunk megtalálni azokat az elemeket, amelyek esetében az átszámítás során egyszerűsíthető az operátor.

Első próbálkozásunk eredménytelen, mert a pneumatikus rendszerekben nincsen „induktív” jellegű energiatároló. Ugyan a vizsgált pneumatikus rendszerben nem is találunk ilyen tárolót, de a teljesség kedvéért lefolytattuk a próbát. A másik mechanikai energiatárolóval már más a helyzet:

A pneumatikus rendszerrészben van kapacitív tároló, és látjuk, hogy ennek a mechanikai oldalon rugómerevség felel meg. Ezt a műszaki érzékünk alapján eddig is tudtuk, hiszen a pneumatikus kapacitás a légrugó szemléletes példája.

Az új mechanikai keresztváltozó forrás az átalakító egyenletéből adódik. Az átszámításnál, akárcsak az impedanciák esetében, nem vesszük figyelembe az előjelet.

Átszámítjuk tehát a pneumatikus kapacitást és az ellenállást, valamint azt is figyelembe kell vennünk, hogy a pneumatikus oldal kapcsolása is ellentétesre fordul a másik oldalon.

6.9. ábra - A legegyszerűbb kapcsoláshoz vezető út részletezése

A dualóg (duálisan analóg) kapcsolás megszerkesztését segíti a fenti ábra. A pneumatikus oldalon kijelölünk a hurok helyére egy (ellentétes) csomópontot, és az új referencia is megjelenik csomópontként, ami az eredeti kapcsoláson kívüli teret helyettesíti. Az új csomópontokat úgy kötjük össze, hogy közben „átvágjuk” az eredeti kapcsolás impedanciáit, és az energiatárolók esetében ellentéteset teszünk a helyére. A disszipatív elem (ellenállás) jellegre nem változik. A fordító váltó szerepe megszűnik, az ábrán látható piros vonalat továbbhúztuk a mechanikai oldal felé. A mechanikai oldalon a rajztechnikai okok miatt felülre rajzoltuk át a referenciát.

A következő ábra az egyenértékű mechanikai rendszer impedancia hálózatát mutatja. Bejelöltük az aktív és passzív rész

6.10. ábra - Balra az aktív, jobbra a passzív rész

Az aktív rész „Z_b” belső impedanciáját a szétválasztás után szabaddá váló kapcsok felől az aktív rendszerrész felé „benézve” határozzuk meg:

Az aktív rész egyenértékű keresztváltozó forrásának kiszámítása a következő feladat. Ebben az esetben a terheletlen aktív rész maximális keresztváltozó értéke az üresjárat, és ezért az s/k_C impedancia nem játszik szerepet. Az erőforrás Thevenin ekvivalense az Ohm törvény révén számítható:

Minden együtt áll a legegyszerűbb kapcsolás megrajzolásához, és az átviteli függvény (keresztváltozó osztó) felírásához:

6.11. ábra - A keresztváltozó osztó konkrét impedanciákkal

Az átviteli függvény szabályozástechnikai alakja, amely nevezőjében az operátortól független tag egyre van normálva, segíti a dimenzió ellenőrzést is.

A pneumatikus munkahenger túlcsillapított másodrendű tag. Az átviteli függvény karakterisztikus polinomjából a túlcsillapítás miatt két valós gyök származik, és ebből következően két időállandó. Az időállandók elkülöníthetőek: T_pneu= b_R/k_C és T_mech≈m/b. A mechanikai időállandó esetében jó közelítés jelölés azért indokolt, mert b»b_R. Olyan rendszerben, ahol van visszahatás is, pl. két RC elemből álló, soros villamos rendszer esetében, az elsőfokú operátor együtthatója két időállandót és egy vegyes tagot is tartalmaz. Ebben az esetben viszont a dugattyúsúrlódást modellező „b” csillapítási tényező értéke meghatározó, vegyes tag elhanyagolható. A következő ábra az átmeneti függvényt (dugattyú sebesség) és annak integráltját (elmozdulás) mutatja, kissé torzított formában, mert a tranziens szakasz fel van nagyítva.

6.12. ábra - Pneumatikus munkahenger átmeneti függvénye

A lappangási idő oka kettős: A kamra belső nyomása az R_pC_p=b_R/k_C pneumatikus időállandó miatt fokozatosan alakul ki, és, ha az „A” felületre ható erő eléri azt a szintet, amely mellett a tömítés miatti súrlódási erőt képes legyőzni, megindul a dugattyú. E folyamatok miatt a pneumatikus munkahenger nem alkalmazható precíziós pozicionálásra. Ilyen jellegű feladatot a bevezetőben említett szervopneumatikus szabályozással, a dugattyú mindkét oldalán létrehozott, és szabályozott nyomásértékekkel lehet megvalósítani, ld.: 18. fejezet. Költségessége miatt az iparban eddig nem tudott átütő módon elterjedni.

A DC motor és a tachogenerátor az elektrodinamikus váltók csoportjába tartozik. A váltó olyan energia átalakító, amely két eltérő típusú fizikai rendszer azonos típusú változói között teremt kapcsolatot. (ld.: 2. fejezet).

Az elektrodinamikus átalakító (forgó és egyenes vonalú) működésének fizikai háttere a Lorentz erő és a mozgási indukció. E két törvény adja az adott konstrukció átalakítási tényezőjét, amelyet „n_v” jelöléssel látunk el, az indexben utalva a váltó jellegre. A dinamikai modellezés eszköztárával foglalkozó fejezetben ismertettük az energia átalakítók három változatát.

Az elektrodinamikus váltó egyenleteinek meghatározásához először is vissza kell nyúlnunk a Lorentz erőhöz. A magyarázó szövegben megjelennek vektorok (dF, B, v, ds) és skalármennyiségek (i, q), ahogy ezt a törvény eredeti formájában bemutatjuk. Ismert, hogy a „B” mágneses indukciójú térben „v” sebességgel mozgó „q” elemi töltésre (definíciószerűen ez pozitív) dF részerő hat. Ha a töltés nem szabad térben, hanem vezetőben mozog, akkor áramról beszélünk. Ezért az előbbi mondat kiegészíthető azzal, hogy az „i” árammal átjárt vezető „ds” darabjára dF erő hat a „B” indukciójú mágneses térben.

A mechatronikában szokásos rendszerek esetében a tekercs, mint fő alkotórész egyértelműsíti, hogy az erőegyenlet második része az, amelyre jelen esetben építünk. Az összefüggés igen gyakran hibásan szerepel katalógusokban, mert az áramot vektorként tüntetik fel, holott nem az áram, hanem az áramsűrűség a vektormennyiség. Helyesebb a képletből kiindulni a magyarázatban. Ott ugyanis a „ds” vezetődarab a gépész számára egyértelműen vektort jelent, amelynek irányát a töltések mozgásának irányával lehet összefüggésbe hozni. Ismét óvatosnak kell lenni, mert a definíció pozitív „q⁺” töltésekről és nem a negatívakról „q-” szól. A keletkező erő irányának meghatározásánál ezért pozitív töltések mozgási irányának ismeretében a „jobbsodrású”, a negatív töltések esetében pedig a „balsodrású” vektorszámítást használjuk. A kezünk hüvelyk, mutató, és középső ujját egymásra merőlegesen „rendezzük”. Pozitív töltések esetében a jobb kéz hüvelykujja a töltések mozgásának iránya, a mutatóujj a mágneses indukció iránya, és a középső ujj a vektor-szorzás eredményeként megjelenő erő iránya. Történelmileg, és megállapodás szerint az elektromos áramlás iránya a pozitív töltéshordozók (valóságos vagy elképzelt) áramlásának irányával egyezik meg. Az áram irányának ilyen, hagyományos értelmezése a legtöbb vezetőben (pl. fémekben) ellentmond a valóságnak, mivel azokban a negatív töltéshordozók (elektronok) áramlanak. Gyakorlati okok miatt, e tény ellenére, áramirányon ma is a hagyományosan definiált áramirányt értjük. A szakirodalom beszél „műszaki” áram irányról is, ez az elektronok mozgása a negatív pólus felől a pozitív pólus irányába.

Ez az irány-probléma a keletkező erő irányának egyértelmű meghatározása miatt lényeges.

Az összefüggés alapján, a „ds” vezetődarabokból álló tekercsrész eredő, vagy „aktív” hosszára összegzés segítségével kapjuk a teljes „F” erőt. Mi is lesz a tekercs „aktív” része, az átalakításban résztvevő összes vezetőhossz? Az egyenlet választ ad erre a kérdésre is, mert abban a „ds” és a „B” mennyiségek vektorszorzata szerepel. Az erő létrehozásában tehát csak azok a „ds” vezetődarabok vesznek részt, amelyek metszik a „B” indukcióvonalakat. A szorzás vektoriális, tehát az erővonalak által bezárt szög szinusza határozza meg a szorzat nagyságát, amely így 90º esetében maximális.

Az összefüggés skalár és egyszerűbb alakban tehát így írható fel:

A csomóponti szabályok miatt ezt az egyenletet „ellátjuk” egy negatív előjellel. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy az „i” elektronáramot tekintve ez a negatív előjel a „valóságot” is tükrözi.

A zárójeles kifejezés a váltó egyik egyenlete:

A fejezet elején már említettük, hogy az áram hatására megmozduló vezetőben, a mágneses tér jelenlétében feszültség indukálódik. Az adott szerkezet felépítéstől függően a tekercs mozgása lehet forgó és lehet egyenes vonalú.

Az átalakító másik egyenlete a mozgási indukción alapul:

Tudjuk, hogy az elektromos és a mágneses terek egymással összefüggenek. Ha a „ds” vektor ismét az áram által átjárt vezetődarab, akkor a fenti összefüggést a következőképpen magyarázhatjuk. A „ds” vezetődarabban, azzal egy irányban „E” villamos erőtér jön létre, ha a vezetődarab „v” sebességgel mozogva metszi a „B” indukcióvonalakat. Definícióból tudjuk, hogy az „E” erőtér a pozitív villamos töltésekre hat. Ebből következően tudjuk, hogy a teljes, a mágneses erőteret merőlegesen metsző, tehát aktív vezetőhosszban az integrál alapján létrejövő u_ind indukált feszültség mely irányban mozgatja az elektronokat, és milyen lesz a teljes vezetőn fellépő polaritás.

Írjuk ezt az összefüggést is egyszerűbb alakba:

Fentebb láttuk, hogy a zárójeles kifejezés az átalakítási tényező:

Az elektrodinamikus átalakító két egyenlete a szokásos formában felírva mutatja, hogy a két irány között számértékét tekintve ugyanaz a tényező szerepel, és azonosak a dimenziók is, az eltérés csupán látszólagos. Ezt az impedancia módszer alkalmazásánál és a dimenzió ellenőrzésnél kell tudni. A „r” (radián) dimenzió nélküli mennyiség.

Az átszámítás során, az átalakítási tényező négyzetének esetében, a gyorsabb ellenőrzés érdekében, a következő dimenzióval célszerű számolni:

A következő alfejezetekben példákat mutatunk be elektrodinamikus váltót tartalmazó rendszerekre

Az alcímben szereplő aktuátor és szenzor mellett a mechatronikában, és általában a műszaki életben sok ilyen típusú váltót tartalmazó eszközzel találkozunk. Ilyen az elektrodinamikus hangszóró, a dinamikus mikrofon, az elektrodinamikus rázóasztal, a merülő tekercses lineáris motor.

6.3.1. A DC motor (aktuátor)

A mechatronikában jelenleg talán leggyakrabban alkalmazott aktuátor és szenzor a DC motor, és „inverze” a tachogenerátor. A működésük fizikai elvei szétválaszthatatlanok, de méretre és műszaki paramétereiket tekintve természetesen jelentősen eltérnek egymástól. Alapvetően mindkét esetben elektrodinamikus energia átalakítóról van szó, ami annyit jelent, hogy működésükhöz kettő plusz egy dolog szükséges: Az első kettő a mágneses tér (állandó, vagy változó) és villamos vezetőből megfelelően kiképzett tekercs. A tekercsben megjelenő áram és a mágneses tér kölcsönhatására a tekercsre erő hat, és létrejön a mechanikai mozgás, amelynek fizikai alapja a Lorentz erő. Ugyanakkor abban a pillanatban, amikor az áram hatására „megmozdul” a tekercs, hat az elektrodinamika másik törvénye, és a mozgási indukció miatt, a tekercs két végpontja között megjelenik az indukált feszültség. Gépész alapokon álló szakember nem felejtheti el, hogy szabályos mozgások csak vezetékkel biztosíthatók. Ez a „plusz” feltétel. Motor és tachogenerátor esetében csapágyazás, lineáris, merülő tekercses motor esetében pedig többnyire rugalmas egyenes vezeték.

A motor esetében a „kivehető” mechanikai teljesítmény érdekében nagyobb áramokra tervezik a tekercseket és a keféket, míg a tachogenerátor esetében az eszköz „jelet” és nem teljesítményt szolgáltat. Méretezése is ennek megfelelően történik.

Meg kell jegyezni, hogy ez a „kettősség” az elektronikusan kommutált DC motorokra nem áll fenn. Az elektronikusan kommutált DC motorok felépítésben is eltérnek, mert ezeknél a forgórész állandó mágnes, tehetetlenségi nyomatéka ennek megfelelően nagyobb, és az állórész tekercseit szekvenciálisan gerjesztve hozzák létre a forgó mágneses teret, mozgásba hozva a forgórészt.

A klasszikus DC motor állórésze állandó mágnesből és lágyvasból álló mágneses kör, amelynek a légrésében forog a tekercs, a forgórész. A tekercselés lehet serleg alakú, és lehet lapos kivitelű. Az állandó forgásirány biztosítása un. kommutátor és érintkező kefék segítségével történik. A kefék anyaga kopásálló ezüst ötvözet, nagyobb gépeknél grafit. A kereskedelemben kapható kisebb, a mechatronikában alkalmazott kefés DC motorok esetében leggyakrabban 3, 5, vagy 7 tekercs bekezdés található a forgórészen. A több bekezdéssel a motor villamos forgatónyomatékának egyenletesebbé tétele érhető el. A valóságban ezek a motorok „lüktetve” járnak, a Lorentz erő által létrejövő nyomaték kisebb-nagyobb mértékben ingadozik a forgórész körülfordulása során. A modellezés során, ennek ellenére a szögelfordulás függvényében állandónak tekintjük a villamos eredetű forgatónyomatékot. A motorra jellemző váltó állandót gépállandónak, vagy nyomatékállandónak nevezik. Definíciója szerint, és skalár alakban:

ahol „Φ” a légrés fluxus, „c” a motor műszaki jellemzőit foglalja magába: „z” a forgórész kerületén lévő vezetők száma, „p” az állórész mágnese pólusainak száma (2p a pólus-pároknak felel meg) és „a” a párhuzamos ankerág-párok száma (hullámtekercselésnél a=1, huroktekercselésnél a˃1).

Tehát a DC motor, mint elektrodinamikus váltó esetében, a váltó állandója n_v=K_M. Ezzel az alábbi összefüggéseket kapjuk:

A motor általános felépítését az alábbi ábra mutatja. A képen látható tekercselés speciális, ennél a serleges kialakításnál a Faulhaber licenc alapján készült. Tulajdonképpen önhordó kompozitról van szó, amelyben a mátrix műgyanta, a villamos vezető pedig a szálmerevítés. A tekercselés menetei a merevség növelése érdekében szimmetrikusan keresztezik egymást, a menet a motor hossztengelyéhez viszonyítva szöget zár be. Az emiatt keletkező axiális erőkomponensek párban kiegyenlítik egymást.

6.13. ábra - DC mikromotor metszete és a forgórész tekercselése (Faulhaber)

A szerkezeti vázlat alapján megszerkeszthető a motor gráfja. A villamos rész két elemet tartalmaz, a tekercs ellenállását és a nyugalmi induktivitását. Ez utóbbi azt a fizikai jelenséget modellezi, amely szerint a mágneses térhez képest nyugalomban lévő tekercsben villamos feszültség indukálódik, amely a tekercsben fellépő áram időbeli változásával függ össze. Induláskor, ha a motor bemenetére u_be(t) villamos feszültséget, „kapocsfeszültséget” kapcsolunk, a forgórész (armatúra) tekercsében exponenciálisan felfutó áram maximális értékű lesz, majd a mozgási indukció révén indukálódó feszültség miatt ez az áram korlátozódik a fordulatszám növekedésével, hiszen a kapocsfeszültség és az indukált feszültség egymás ellen hatnak.

A váltó mechanikai oldalán két passzív elem van, a tekercs tehetetlenségi nyomatéka és a csapágysúrlódást modellező csillapítási tényező. A gráfban a mechanikai oldalon egy átmenő változó forrás képében megjelenítettük az időben változó terhelő nyomatékot. Ha ezt a gráf élet elhagyjuk, a motor üresjárati modelljét kapjuk. Az összetett mechatronikai rendszerekben ezt a terhelő nyomatékot jelképező gráf élet például a valós hajtómű eredő torziós rugalmassága váltja fel, és utána következik a hajtómű többi eleme.

A következő ábra egy kisebb teljesítményű, a mechatronikában, főként a robottechnikában alkalmazott motortípus nyomaték-fordulatszám jelleggörbéjét mutatja.

6.14. ábra - Egy DC mikromotor jelleggörbéi (Faulhaber)

A teljesség kedvéért, és a módszerek összehasonlítása érdekében mindhárom módszert bemutatjuk a matematikai modellek felírásához, és bemutatjuk modellek közötti átszámítási lehetőségeket is:

• Hurok/csomóponti módszer→Mátrix-egyenlet→Átviteli függvény →Differenciálegyenlet→Állapottér modell

• Hurok/csomóponti módszer→Állapottér modell→Átviteli mátrix→Átviteli függvény

• Impedancia módszer→ Átviteli függvény→(Differenciálegyenlet)

6.3.1.1. Hurok és csomóponti módszer

A DC motor példája és gráfja egy lényeges, gyakorlati modellezési szabály bemutatását teszi lehetővé. Ismeretes, hogy egy gráf esetében a változók meghatározására csomóponti, vagy hurok egyenleteket írunk fel. Az egyenlet típusok nem keverhetőek. Az összes keresztváltozó a csomóponti, míg valamennyi átmenő változó a hurok egyenletek alkalmazásával írható fel.

Olyan gráfok esetében azonban, amelyekben energia átalakító található, ez a megkötés felesleges, és csak a különböző rendszerrészekre korlátozódik. Miután a rendszerrészeket egy konstans köti össze, lehetséges minden részben más-más módszert alkalmazni.

A DC motor esetében a villamos részre célszerű hurok egyenletet felírni, míg a mechanikai oldalra csomópontit. A villamos „i” hurokváltozót egy konstans, a „K_M” köti a mechanikai oldal csomóponti egyenleteibe. A két egyenlet alatt megjelenítettük a váltó egyenleteit is, hiszen ezek nélkül az egyenletek nem köthetők egymáshoz.

6.15. ábra - DC szervomotor gráfja

Az „i” hurokváltozó célszerűen kijelölt iránya meghatározza a keresztváltozó különbségek előjelét, ami egyezik, pozitív, ami nem, negatív. Az „Ω” csomóponti változóra felírt egyenleteknél legyen pozitív a kifelé mutató élek, és negatív a befelé mutató élek előjele. A szimulált terhelő nyomatékot a gráfban átmenő változó forrásként modellezzük, mert nincsen más szimbólum, de a negatív előjel utal arra, hogy nem gerjesztésről, hanem forgatónyomaték „kivételről” van szó.

Behelyettesítve a fizikai és a váltó egyenleteket, az alábbi differenciálegyenlet rendszert kapjuk:

Ezt az alakot minden hasonló esetben „forrás-értékű” alaknak tekinthetjük, és megtaláljuk több szakirodalomban, például a B. C. Kuo Önműködő szabályozott rendszerek című munkájában [6.2.] is. Megjegyezzük azt is, hogy hálózati módszerrel kevesebb munkával tudtuk ezt a differenciálegyenlet rendszert felírni, mint az energia módszerrel, lásd: 1. fejezet. Forrás-forma, mert ezen a ponton elválhatnak ugyanis a további utak:

• Ha állapottér modellt kell felírnunk, akkor ezt a legcélszerűbb ebből a formából kiindulva megtenni.

• Ha átviteli függvény, és/vagy differenciálegyenlet keresett, akkor Laplace transzformálás után algebrai egyenletrendszert hozunk létre, majd a további lépések a mátrix-vektor műveletek alkalmazásával lehetségesek.

Elsőként legyen keresett az átviteli függvény, és a vele kapcsolatos differenciálegyenlet, ezért Laplace-transzformáljuk a két differenciálegyenletet. A nagybetűk a változók Laplace transzformáltját jelentik:

Mátrixos alakba írjuk az egyenletrendszert:

Bizonyos szabályosságok azonnal felismerhetők. A hurokegyenletből származó sorvektor impedanciákat és az átalakító konstansát, a csomóponti egyenletből származó sorvektor admittanciákat és az átalakító konstansát tartalmazza. A főátló elemei pozitívak.

Tovább lépve el kell dönteni, hogy mindkét változót keressük, vagy csak az egyiket. Ha mindkettőt, akkor a mátrixot invertálni kell:

Az invertáláshoz kijelölt műveleteket ebben a feladatban nem végezzük el, először a motor jellegzetes kimenőjelére, a szögsebességre írjuk fel a modelleket. Ha csak egy változó keresett, akkor célszerű a Cramer szabályt alkalmazni:

Elvégezzük a műveleteket, és az operátor csökkenő hatványai szerint rendezzük a nevezőt:

Az operátortól független taggal beosztva két átviteli függvényre és a hozzájuk kapcsolódó bemenőjelekre választjuk szét a kapott alakot:

Felismerhető a szuperpozíció szabálya, amelyet az impedancia módszer esetében kell, majd alkalmazunk, több forrás előfordulása esetén. A szuperpozíció felhasználása természetesen csak lineáris rendszerek esetében jöhet szóba.

A két átviteli függvény a két forrás felől nézve külön-külön adja meg a kimenőjel egy-egy részét:

Mindkét átviteli függvény karakterisztikus polinomja azonos, hiszen egyazon rendszer viselkedését írják le. A rendszer másodrendű, hiszen két energia tárolója van, „L” és „J”. Szép példája ez a mechatronikai részrendszerek energia átalakítón keresztül megvalósuló egymásra hatásának, hiszen egymás mellett szerepelnek az eltérő típusú rendszerekhez tartozó paraméterek.

Az átviteli függvényekből a differenciálegyenlet inverz Laplace transzformáció segítségével előállítható. Nézzük a „G_U” átviteli függvényt:

Az átviteli függvényben az általános paraméteres jelölést alkalmaztuk, mert az operátor négyzetes tagja melletti „a₂” paraméterben összefoglalt összefüggés nem azonos az időállandó négyzetével. Itt ugyanis megjelennek a disszipatív paraméterek. Az „átszorzás” eredményeként először a differenciálegyenlet operátor térbeli formáját kapjuk, majd inverz Laplace transzformálás után a keresett időtartománybeli modellt.

Az állapottér modell ebből a másodrendű differenciálegyenletből is előállítható, visszavezetéssel. A kapott modellt az állapotirányításban „normál” alaknak is nevezik. A német szakirodalomban a „normál alak” megjelölést azért alkalmazzák, mert a stabilitás tervezése, a gyökök elhelyezkedésének megadása révén, e forma alkalmazásával egyszerű. Megjegyezzük, hogy magasabb rendszámú differenciálegyenletek esetében ez a módszer szükségképpen olyan állapottér modellhez is vezethet, amelyben az állapotjelzők egyike-másika mögött nincs valós, mérhető fizikai jellemző. Jelen esetben, a visszavezetés módszerével, a szögsebesség és a szöggyorsulás lesz a két állapotjelző. Ha gyakorlatban nem is minden esetben, de ez a két fizikai mennyiség legalább elvben mérhető.

Az állapottér modellre a későbbiekben még visszatérünk.

A mechatronikában, különösképpen a robottechnikában alkalmazott kisméretű DC motorok „L” nyugalmi induktivitása igen csekély, és a jó csapágyazásnak, valamint a kis kefesúrlódásnak köszönhetően szintén kicsi a „B” csillapítási tényező értéke is. Ezért találjuk meg a gyártók katalógusaiban az un. elektromechanikus időállandót az adatok között, és azt az ajánlást is, hogy a motort elsőrendű rendszerként célszerű modellezni.

A motor un. üresjárati átviteli függvénye, ha „L” és „B” paraméterektől eltekintünk:

A szabályozástechnikában gyakran a fenti átviteli függvénnyel közelítik a DC motor dinamikai viselkedését. Ha a motorhoz „ideális” hajtómű is csatlakozik, akkor az átviteli függvény alakja nem változik, csak az időállandó. Annak ellenére, hogy a nagyobb tehetetlenségi nyomaték hatásaként elvárható lenne az időállandó csekély növekedése, a hajtómű súrlódásai miatt az időállandó a gyakorlatban kisebb lesz, a motor-hajtómű egység „kifutási görbéje” megrövidül. Erről részletes magyarázat található az 1. fejezet fejezetben, és a jelenségről könnyű kifutási mérésekkel meggyőződni.

6.3.1.2. DC motor állapottér modellje

Ahogy a hurok-és csomóponti egyenletek felírásánál jeleztük, ott található az a „stratégiai” pont, ahol a célnak megfelelő utak szétválnak. Láttuk, hogy az egyenletek Laplace transzformálása révén algebrai egyenletrendszert kapunk, és a keresett változó(k) meghatározása mátrix-vektor műveletekkel történik.

Ha a másik utat kell járnunk, mert a cél az állapottér modell felírása valós, mérhető fizikai változók formájában megjelenő állapotjelzőkkel, akkor a hurok és csomóponti egyenletekben kell definiálni az állapotjelzőket:

Az induktivitás, mint energiatároló állapota az átmenő változó segítségével (i) írható le. A tehetetlenségi nyomaték állapotjelzője a keresztváltozó (Ω) lesz. A bemeneti vektor két függvényt tartalmaz.

Az állapottér modell (ÁTM) főegyenlete a fentiekkel így írható fel:

A főegyenletet mátrixos alakban is felírhatjuk, mert a paraméterek állandók és az egyenletrendszer lineáris:

Az „A” rendszermátrix és „B” bemeneti mátrix vizsgálata révén azonnal eldönthetjük, hogy helyesen írtuk-e fel a modellt? A rendszermátrix négyzetes (nxn, ahol n a rendszám), a főátlójának elemei negatívak, ez a stabilitás egyik előfeltétele. Az egyes tagok dimenzió analízise is helyes eredményt ad, érdemes tehát továbblépni.

Ha a kimenetek között kíváncsiak vagyunk a motor tengelyének szögelfordulására is, akkor bővíteni kell a rendszermátrixot. Ez több mechanikai rendszert, vagy rendszerrészt tartalmazó feladatban problémaként merülhet fel. A lineáris és rotációs mechanikai rendszerekben van ugyanis egy természetes „származtatási” rend. A keresztváltozóból integrálással és deriválással további változók állíthatók elő. Ilyen más rendszerben nincs, csak a villamos rendszerben az áram és a töltés kapcsolata. Kezdeti feltételek nélkül tekintsük át a kapcsolatokat:

Az így bevezetett új „φ” állapotjelző nem valós állapotjelző, mert a rendszerben nincsen olyan energia átalakító, amelynek leírásához szükség lenne rá, ugyanakkor előfeltétele az újabb kimenet felírásának. A módosított ÁTM harmadrendű rendszert „sugall”, de ez csak a fentiekben leírtak miatt van így, a rendszám marad 2, csak az állapotjelzők száma nőtt 3-ra.

Az állapottér modell nagy előnye, hogy a főegyenlet megoldása után minden releváns változó kifejezhető az állapotjelzők lineáris kombinációjával. A kimeneti változók csoportja az alábbi lehetséges, lényeges változókat tartalmazhatja:

Az állapotjelzők természetszerűen elsők a sorban. Ügyelni kell arra, hogy az u_L és az M_J kimenetek esetében deriválás nem lehet a formulában, tehát ezeket a kimeneteket a hurok és a csomóponti egyenletek újbóli felhasználásával lehet csak megadni.

A kimeneti, vagy segédegyenlet is felírható mátrixos alakban, ahol a „C” a kimeneti és „D” a segédmátrix.

6.3.1.3. Műveletek a DC motor állapottér modelljével

Ennek az aktuátornak a modellje alkalmas arra, hogy olyan műveleteket mutassunk berajta, amelyek a rendszerek dinamikai viselkedésének vizsgálatához szükségesek.

Az átviteli mátrix W(s) meghatározása

Ha valamennyi bemenet és valamennyi kimenet között keressük az átvitelt, akkor az állapotegyenletek segítségével felírható az átviteli mátrix. Ebben az esetben operátor tartományban kell dolgoznunk, és nem vesszük figyelembe a kezdeti értékeket, mert általános, frekvencia-függő kapcsolatot keresünk.

A főegyenlet Laplace transzformálása után elhagyjuk a kezdeti feltéteket, és az állapotvektort behelyettesítjük a kimeneti egyenletbe. Az egységmátrixot -vel jelöljük:

A DC motor esetében nem jelent gondot a 2x2-es mátrix determinánsának felírása.

Nagyobb rendszám esetén, egy n·n méretű mátrix invertálásánál ügyelni kell az aldeterminánsok célszerű megválasztására.

Adott tehát az alábbi egyenlet:

Következő lépésben az „X” állapotvektort behelyettesítjük a kimeneti egyenletbe, csoportosítjuk a műveleteket és előállítjuk a „” átviteli mátrixot:

ahol , a rezolvens mátrix Lapace transzformáltja.

Az állapotváltozók időfüggésének meghatározása Laplace transzformációval

A főegyenlet Laplace transzformálásával a következő alakhoz jutunk:

Az utolsó sorban látható egyenlet első tagja a homogén, míg a második a partikuláris megoldás Laplace transzformáltja. Az időtartománybeli műveletekkel való összehasonlítás érdekében most csak a homogén megoldást vizsgáljuk.

Észre kell venni azt is, hogy a Laplace transzformációs szabályok a deriválás esetében a 0^- kezdeti értéket tartalmazzák. Ezen a helyen ismételten utalunk Fodor György munkájára, amely különbséget tesz a kiindulási x(0-) és a kezdeti x(0+) értékek között [3.1.]. Ez abban az esetben nem jelent gondot, ha a rendszer állapotjelzőinek „bekapcsolást” megelőző értékei azonosak a „bekapcsolás” utánival, tehát

.

Az állapotjelzők időbeli lefutásának inverz Laplace transzformációval történő meghatározásához az x(0-) értékekre van szükség. Fodor György megfogalmazása szerint a Laplace transzformáció a kezdeti érték kiszámítását „automatikusan” elvégzi helyettünk.

Abban az esetben, ha a változók nem „kanonikus” változók (állapotjelzők), és valamilyen okból szükség van a jobboldali kezdeti értékekre, az x_i(0⁺) értékek az operátor térben a Laplace transzformáció kezdeti érték tétele segítségével határozhatók meg. A témáról bővebben Korondi Péter Rendszertechnika [2.4.] című elektronikus jegyzetében, és Fodor György fentebb említett könyvében olvashatunk.

A mátrix inverzió első lépésében képezzük a zárójelben található kifejezés eredményét:

Kiszámítjuk az adjungáltat, majd a determinánst. Az adjungált számítása általános esetben két lépésben történik. Először meghatározzuk minden mátrix elem aldeterminánsát, majd sor-oszlop cserét hajtunk végre. Az aldetermináns képzésnél ügyelni kell az elemek indexeitől függő előjelekre. 2x2-es mátrix esetében egyszerűen lehet eljárni, de végighaladunk a lépéseken:

Aldeterminánsok:

Majd a sor-oszlop cserét követően:

A következő lépésben meghatározzuk a determinánst:

Ha a szokásos módon átalakítjuk az összefüggést, akkor összehasonlíthatjuk a karakterisztikus polinomot azzal az alakkal, amelyet a hurok-és csomóponti módszerrel kaptunk:

Az invertált mátrix az alábbi formát veszi fel:

Az inverz mátrixot felhasználva érdemes ellenőrzésképpen az Ω(s)/U_be(s) átviteli függvényt kiszámítani, mert így lehetőség nyílik az összehasonlításra. Ezt az átviteli függvényt korábban a hurok-és csomóponti egyenletekből írtuk fel.

Tehát korábbról, az átviteli mátrixról tudjuk, hogy

,

és ebből a mátrix-vektor egyenletből az U_be bemenetet és az Ω kimenetet választjuk ki. Ennek megfelelően a kimeneti mátrix második sorára és a bemeneti mátrix első oszlopára lesz csak szükség a számításokhoz. A segédmátrixra nem lesz szükség.

A vektor-mátrix-vektor szorzás eredménye két szorzat tagként (K_M/J és 1/L) jelenik meg az alábbi függvény számlálójában, a tört többi része skalár volt:

Ha a megszokott formában írjuk fel az átviteli függvényt, akkor meggyőződhetünk, hogy az eredmény megegyezik a hurok-és csomóponti egyenletekből kapottal.

Dimenzióellenőrzés:

A sikeres ellenőrzés után az eredeti kérdés még nyitott, nevezetesen, hogy miként kapjuk meg a keresett állapotjelzők időfüggvényét az inverz mátrix felhasználásával. Amint fentebb láttuk, a homogén megoldás az operátor térben a következő:

Az előzőekben már írtunk arról, hogy állapotjelzők időbeli alakjának kiszámításában, Laplace inverz transzformáció alkalmazása esetén, a legnagyobb könnyebbséget az jelenti, hogy nincsen szükség a kezdeti értékek meghatározására, elegendő a kiindulási értékek ismerete. Kanonikus változók esetén – ezeket a jegyzetünk keresztváltozónak, vagy átmenő változónak nevezi, másként ezek a „természetes” állapotjelzők, a kiindulási érték és a kezdeti érték meg kell, hogy egyezzen, mert semmilyen energiatárolót nem lehet zérus idő alatt feltölteni, állapotát megváltoztatni, olvashatjuk Fodor György: Lineáris rendszerek analízise című munkájában [3.1.]. Ezt az alábbi módon lehet kifejezni:

Kérdés, mi történik valós technikai rendszerekben akkor, ha van kiindulási érték x(0-), de ezen felül t=0 időpillanatban impulzus-szerű gerjesztés éri?

Idézzük Fodor Györgyöt az energiatárolók impulzus gerjesztéssel történő feltöltésével kapcsolatban. „Ha impulzust kívánunk vizsgáló gerjesztésként alkalmazni, akkor célszerű valamilyen előírással szabványosítani. Normalizáljuk impulzusunkat úgy, hogy egységnyi intenzitású legyen, és egyetlen jellemzője a hosszúsága, hiszen amplitúdója . …Célszerű az impulzushosszat is „szabványosítani”, mégpedig minél kisebbnek választani, mert ekkor az impulzus-válasz egyre kisebb „t” értékektől kezdve tekinthető függetlennek a gerjesztő impulzus hosszától. …Mit értsünk a formális alakban megadható – de matematikailag közvetlenül nem értelmezhető - Dirac-impulzuson? …Határesetben egy végtelenül rövid és végtelenül nagy amplitúdójú, egységnyi erősségű impulzust kapunk. Ez azonban nem függvény, és semmilyen fizikai mennyiség nem változhat ilyen törvényszerűség szerint. … A Dirac-impulzus tehát csak rövid jelölése annak a egységnyi erősítésű impulzusnak, amelynek hosszúsága igen kicsi, mégpedig jóval kisebb a rendszer legkisebb időállandójánál is. …Fizikai szempontból a Dirac-impulzus semmivel sem absztraktabb a véges hosszúságú impulzusnál, vagy az egységugrásnál, hiszen a valóságban ilyen lefutású jelek sem hozhatók pontosan létre. A közelítést akkor alkalmazhatjuk, ha az állandó érték eléréséhez szükséges idő jóval kisebb a rendszer legkisebb időállandójánál.”

Eddig az idézet szöveg, amely többször is hangsúlyozza, hogy a valóságos energiatárolók feltöltését csak akkor lehet Dirac-impulzussal modellezni, ha a rendszer legkisebb időállandója lényegesen kisebb, mint a „feltöltéshez” alkalmazott impulzus időtartama. Ezért alkalmazzák például a modálanalízis méréstechnikájában (pl. rudak, lemezek sajátfrekvenciáinak felderítése céljából) az „impulzus-kalapácsot”, amellyel a Dirac-impulzust lehet a gyakorlatban közelíteni.

Ugyanakkor kétségtelen tény, hogy elméletben a Dirac-impulzus segítségével lehet a gerjesztés nélküli rendszerek súlyfüggvényét, modern szóhasználattal impulzus-válaszát meghatározni. Ez a függvény igen fontos rendszerjellemző függvény.

Behelyettesítve az ellenőrzött inverz mátrixot, az alábbi Laplace transzformált függvényeket kapjuk. A nagy méret miatt ismét alkalmazzuk az átviteli függvények esetében szokásos „a_i” jelöléseket, de ezúttal a későbbi gyöktényezős alak előállítása miatt másként rendezzük:

Az armatúra áram operátor térbeli alakja a fenti összefüggésből számítható ki. Az inverz transzformáció eredménye mindkét esetben a konkrét számértékektől függ, ettől függően, vagy exponenciálisan lecsengő lengéssel, vagy aperiodikus lefolyással kell számolni.

Az időfüggvények természetesen paraméteres formában is megadhatóak. Feltételezzük, hogy a két gyök konjugált komplex, tehát a DC motor másodrendű, és alulcsillapított, ha kis mértékben is. Az állapotvizsgálat üresjáratban történik, és csak az impulzusválaszt, más néven homogén megoldást adjuk meg, a Cannon: Dynamics of Physical Systems [2.2.] című, alapvető szakirodalom alapján.

Tehát legyenek a pólusok lengő esetre: s₁=σ_a+jω_a és s₂=σ_a-jω_a.

Paraméteres alakban ez a következőket jelenti:

Ha tehát lengő, alulcsillapított esetet feltételezünk, akkor teljesülnie kell az alábbi feltételnek:

Ezekkel a csillapított rendszer rezonancia körfrekvenciáját a következő formulával határozhatjuk meg:

Az időfüggvények meghatározásához fontos még az alábbi két összefüggés:

A fenti irodalomban található Laplace transzformációs táblázat szerint az alábbi időfüggvények tartoznak az operátor térbeli alakhoz, ahol σ_mech=1/T_mech és σ_vill=1/T_vill.

Az állapotjelzők általános megoldására a Φ(s) mátrix alkalmazásával az alábbi Laplace transzformált kifejezéseket kapjuk:

Paraméteres formában visszatranszformálás után az alábbi általános alakot kapjuk:

Kérdés, hogy mihez kezdünk műszaki értelemben ezzel a függvénnyel?

Például választ kapunk arra a kérdésre, hogy ha az i(0^-) és Ω(0^-) kiindulási értékek t=0+ időpillanatban, tehát az időtengely jobboldalán megszűnnek, a magára hagyott rendszer árama milyen módon fog az idő függésében változni.

Elméletben ezt homogén megoldásnak nevezzük.

Kérdés még, hogy a függvény második tagja valóban „A” (Amper) dimenziójú?

Figyelembe véve az inverz Laplace transzformált együtthatóját, amelynek dimenziója „s”, (ω_a[1/s]) megnyugodhatunk, a függvény második része is „A (Amper)” dimenziójú.

Jól látható, hogy az kiindulási értékekről „elengedett” elektromechanikus rendszer áram függvényében a mechanikai rendszerelemek is „éreztetik” a hatásukat: Jelen van σ_mech=1/T_mech formában a mechanikai időállandó, és az ω_a rezonancia frekvencia

ugyancsak elektromechanikus, vegyes kifejezés alakjában. A rezonancia körfrekvencia értéke csillapítatlan esetre könnyen ellenőrizhető, ha a két disszipatív elemet (R, B) zérusnak választjuk:

Az összefüggésben C_J=J/K_M², azaz a tehetetlenségi nyomatékkal egyenértékű villamos kapacitás. A képlet ismert a szakirodalomból, esetünkben nevezzük „elektromechanikus” Thomson képletnek.

Az előzőekhez hasonlóan járunk el a másik állapotjelző esetében is. Az Ω(s) Laplace transzformáltja ugyancsak a Φ(s) alapmátrix segítségével határozható meg:

Visszatranszformálással kapjuk a keresett időfüggvényt:

A kapott időfüggvényben az áram esetéhez hasonlóan az tükröződik, hogy milyen lesz a forgórész szögsebességének időfüggvénye, ha az állapotjelzők kiindulási értékekeit t(0⁺) időpillanatban megszüntetjük.

6.3.1.4. Impedancia módszer

Az alábbi ábrán látható a DC motor impedancia hálózata.

6.16. ábra - A DC szervomotor impedancia hálózata

A hurok és csomóponti módszernél bemutatottakhoz hasonlóan, most is a motor normál üzemi jellemzőjére vagyunk kíváncsiak, azaz az Ω(s) szögsebességre. Két forrás van a rendszerben, ezért az impedancia módszer alkalmazása során a szuperpozíció szabályára támaszkodunk. Ennek szellemében, külön-külön vizsgáljuk a keresett változót, először az U_be(s) kapocsfeszültséget, majd az –M_t(s) terhelő nyomatékot választjuk bemenetnek, és a hatásokat összegezzük. Két átviteli függvényt kell tehát felírnunk. Az éppen aktuális bemenet a másik forrást nem forrásként, hanem annak belső ellenállásaként érzékeli. Ezt a megfelelő ábrákon jeleztük is, a nyomaték helyén szakadással, a kapocsfeszültség helyén rövidzárral.

Az első átviteli függvény legyen Ω_u(s)/U_be(s)=G_u(s). Az indexek arra utalnak, hogy ebben az esetben nem a teljes keresett kimenetre kapunk összefüggést, hanem csupán az egyik bemenet felől nézve. Úgy kell tekinteni, hogy a másik forrás értéke jelenleg zérus.

A kapcsolást a keresett átviteli függvénynek alárendelve vontuk össze, alakítottuk át. Ennek lépéseit a modellezéssel részletesen foglalkozó fejezetben már bemutattuk. A mechanikai oldal párhuzamos impedanciáit eredőben vontuk össze. Ezen az eredőn jelenik meg a keresett változó, ezért célszerű az aktív részhez tartozó villamos oldalt a forrással együtt a mechanikai részre redukálni. Ha ez megtörtént, akkor a kapcsolás igen egyszerű lesz, mert egy keresztváltozó osztót képez.

6.17. ábra - A keresett Ω kimenet és az Ube forrás közötti kapcsolatot leíró hálózat

A két soros villamos impedancia eredőjét a mechanikai oldalra redukáljuk, és ehhez a váltó egyenleteit használjuk fel:

A keresztváltozó osztó a mechanikai impedanciák eredőjének meghatározása után már felírható:

Ellenőrizhető, hogy a kapott eredmény egyezik azzal az alakkal, amit a hurok és csomóponti módszer segítségével vezettünk le.

A következő lépésben a terhelő nyomaték „felől” vizsgáljuk a rendszert, miközben kiiktatjuk a kapocsfeszültséget és azt rövidzárral helyettesítjük, hiszen az ideális keresztváltozó forrás belső ellenállása zérus. Az így kialakuló kapcsolás még egyszerűbb, mint az előző, hiszen a terhelő és a belső impedancia párhuzamosan vannak kapcsolva, az átviteli függvény egyszerűen az eredő impedancia lesz.

A két átviteli függvény felhasználásával felírható a végeredmény operátor tartományban:

Az átviteli függvények esetében szokásos alakra hozva:

Didaktikai szempontból célszerű az állapottér modellel kapott eredményt összevetni az impedancia módszerrel kiszámítottal. Mindkét bemenet szerepel az állapottér modellben is, de csak az Ω állapotjelző a „közös” kimenet a két eljárásban.

Válasszuk ezúttal a fenti függvényből a második tagot összeghasonlításul, hiszen az U_be(s) bemenet felől már felírtuk korábban az állapottér segítségével az átviteli függvényt, és összehasonlítottuk a hurok és csomóponti módszerrel kapott eredménnyel.

Az összehasonlítás érdekében vissza kell térnünk az állapottér modellből felhasználni kívánt egyenletekre. Ezekből az átviteli mátrixra van szükségünk, mert ez adja meg a minden bemenet és kimenet közötti kapcsolatot:

Behelyettesítjük az alapmátrixot, majd elvégezzük a kijelölt mátrix-vektor műveleteket:

Az állapottér modellből kapott átviteli függvényt úgy rendeztük, hogy a karakterisztikus polinom alakja megegyezzen azzal, amit az inverz Laplace transzformálásnál alkalmaztunk. Ehhez a számlálót és a nevezőt beszorozzuk az operátor négyzete mellett szereplő együttható reciprokával.

A kapott eredmény meggyőző, mert látható, hogy mind az impedancia, mind pedig az állapottér módszerrel kapott eredmény megegyezik egymással. A visszatranszformálástól eltekintünk, annak eredményét láttuk az állapottér modellnél.

Összefoglalva elmondhatjuk, hogy a DC motor modelljén, mint demonstrációs példán bemutattunk két hálózati módszert az egyenletek gyors és hatékony felírásához, majd bemutattuk az átszámítás lehetőségeit, és összehasonlítottuk a kapott eredményeket is. Ezek az alábbiak voltak:

• Hurok/csomóponti módszer→Mátrix-egyenlet→Átviteli függvény →Differenciálegyenlet→Állapottér modell

• Hurok/csomóponti módszer→Állapottér modell→Átviteli mátrix→Átviteli függvény

• Impedancia módszer→ Átviteli függvény→(Differenciálegyenlet)

Ezeken túlmenően megmutattuk az állapotjelzők időbeli alakjának meghatározását a Laplace transzformáció segítségével. Az időtartománybeli megoldástól (Taylor sorfejtés) a modellezésben bemutatott nehézségek miatt „eltekintettünk”.