Az emberi szem a teljes elektromágneses spektrumból hozzávetőlegesen csupán a 380 és 780 nm közötti hullámhossz-tartományt képes érzékelni. Ez a látható színtartomány az ultraibolyától, az infravörösig terjed. A Földön honos élőlények nagy része ebben a tartományban képes érzékelni a környezetéből érkező sugárzást. Ez nagy valószínűséggel annak köszönhető, hogy a 400 nm alatti sugárzást jó részét a légkör elnyeli, a 800 nm feletti sugárzás nagy része pedig áthatol a tárgyakon. Az általunk látható fény általában összetett fény, amely több, különböző frekvenciájú sugárzást tartalmaz. Ilyen fényt sugároz magából a Napunk is, amelynek spektrumára a törzsfejlődésünk során adaptálódott a látórendszerünk. Amennyiben a fény csak egy hullámhosszú, azt monokromatikus fénynek nevezzük. Léteznek továbbá úgynevezett kvázi monokromatikus sugárzások is, amelyek néhány nanométeres intervallumban tartalmaznak különböző frekvenciájú összetevőket. A nagy frekvenciájú fényhez kisebb hullámhossz érték, míg a kis frekvenciájúhoz nagyobb hullámhossz-érték tartozik.

http://sdsu-physics.org/physics180/physics180B/Topics/electromagnetism/images_em/em_spectrum5.gif

1.3. ábra - Az elektromágneses spektrum

http://www.vu.union.edu/~wongc/visible.jpeg

1.4. ábra - Az elektromágneses spektrum látható tartományának kinagyítása

Az állatvilágban nagyon változatos látószerveket ismerhetünk meg, amelyek elhelyezkedése és felépítése nagymértékben eltér egymástól. Amíg a növényevő állatok szemei úgy helyezkednek el a fejen, hogy a lehető legnagyobb belátható teret legyenek képesek megfigyelni, addig a ragadozók szemei általában a fejük elülső részén helyezkednek el, egymáshoz közelebb, hogy képesek legyenek megbecsülni prédájuk távolságát a sikeresebb vadászat érdekében, ehhez ugyanis három dimenzióban való látásra van szükség.

1.5. ábra - Az emberi látómező

Az emberi szem a fej elülső oldalán helyezkedik el, egymással egy síkban, és egymástól átlagosan 63 mm-es távolságban. Ezzel a látómezőnk közel 90 fokban, sztereo látást tesz lehetővé, tehát eme tartományban mindkét szemünkkel látjuk a tárgyakat, ezen kívül legfeljebb csak az egyik szemünkkel – monokuláris látómező 160 fok, binokuláris látómező 200 fok. Szemünk mozgását a szem körül elhelyezkedő – szemenként – három pár extraokuláris izom teszi lehetővé. Ezek a mozgások jellemzően nem folyamatos, pásztázó mozgások, hanem szakaszosak. Létezik egyirányú – konjunktív – szemmozgás, amely során a két szemünk egy irányba mozog, és létezik ellentétes irányú – vergens – szemmozgás, amely során szemünk a közeledő, illetve távolodó tárgyakra néz. A közvetlenül előttünk lévő tárgya történő fókuszálás a konvergens szemmozgás.

Szemünk két-féle szemmozgást képes kivitelezni. Az egyik egy szakaszos, szaggatott, gyors szemmozgás, amely például olvasáskor vagy a weboldalakon való böngészéskor aktív. A másik egy folyamatos mozgás, amely a mozgó tárgyak követéséhez nélkülözhetetlen. A szakaszos szemmozgás ugrásait szakkádoknak, a megállásait fixációnak nevezzük. A szakkádikus elnyomás következtében a gyors szemmozgások alatt nincs információ-felvétel. A később bemutatott retinális mechanizmusoknál látni fogjuk, hogy a fotoreceptoroknak folyamatos „frissítésre” van szükségük ahhoz, hogy a fixált képet érzékeljék. Ehhez nélkülözhetetlen egyfajta mikroszakkádikus mozgás, amelynek következtében a szem soha nincs teljesen nyugalomban. Amennyiben a mikroszakkádokat kiiktatnánk az észlelt tárgyak elhalványulnának és előbb-utóbb el is tűnnének a látómezőből. A követő szemmozgáskor a mozgás sebessége és iránya folyamatosan változik.

http://www.southbayophthalmology.com/wp-content/uploads/2010/05/muscles2-1024x798.jpg

1.6. ábra - Az emberi szem mozgató izmai

Az emberi szem anatómiáját tekintve végső soron három koncentrikus rétegből – ínhártya, érhártya, retina – két kamrából – elülső szemkamra, üvegtest – a szivárványhártyából, a pupillából és a lencséből áll. Az ínhártya a szem külső, rostos, kemény rétege. Ennek elülső része voltaképpen a szaruhártya – cornea – amelynek már nincs saját vérellátása, az elülső kamrai folyadék táplálja. Optikai szempontból a szaruhártya adja nagy részét a szem dioptriaértékének – kisebb részt ad a szemlencse. Az érhártya a szemgolyó falának közelében tapad, hajszálerei táplálják az ínhártyát. Az elülső szemkamrában található a csarnokvíz, amely a cornea táplálása a szem alakjának fenntartásában is rész vállal – az ínhártya mellett. Az üvegtest a szem tömegének közel egy-harmada. A benne lévő folyadék szintén csarnokvíz, de azzal ellentétben nem újul meg folyamatosan. A szivárványhártya a szemlencse elülső oldalára simul rá és ez adja szemünk jellegzetes színét. A közepén lévő fekete terület a pupilla, amely valójában két izomcsoport közötti kerek rés, nyílás. A pupilla mérete befolyásolja, hogy mennyi fény éri el a retinát. A szemlencse a szivárványhártya mögött helyezkedik el. Átlagosan 9 mm átmérőjű és 4 mm vastag. A szem a szemlencse segítségével képes a fokuszálásra, amelynek következtében élesen láthatunk. Ezt az élesre állítási folyamatot hívjuk akkomodációnak. A lencse alakját, illetve görbületi sugarát a ciliáris izmok segítségével változtatjuk meg. A szemlencsét a lencsefüggesztő rostok tartják a helyén megfeszített állapotban. Közelre nézéskor a ciliáris izmok megfeszülnek, és a lencsefeszítő rostok elernyednek, melynek következtében a szemlencse magától összezsugorodik, ezzel csökkentve a görbületi sugarat. Távolra nézéskor egy ellentétes folyamat játszódik le: a ciliáris izmok elernyednek, a lencsefeszítő rostok megfeszülnek, melynek következtében a szemlencse kinyúlik, ezzel növelve a görbületi sugarat. Ezért van az is, hogy ha elfáradunk a ciliáris izmok nem képesek a feszítésre, így csak „bámulunk a semmibe”, a fókuszunk a távoli célponton marad.

http://www.southbayophthalmology.com/wp-content/uploads/2010/04/G021.jpg

1.7. ábra - Az emberi szem felépítése

A látás receptorai a fotoreceptorok a retinán helyezkednek el. Ezek a receptorok a fényenergiát idegi jelekké alakítják át, majd továbbítják a közelben elhelyezkedő gyűjtősejtekből álló hálózatba. A retinán lévő fotoreceptorokhoz a fény a retinális ganglionsejteken és a gyűjtősejteken – bipoláris, amakrin és horizontális sejtek – keresztül érkezik. A retinán az éleslátás helye az úgynevezett sárgafolt vagy macula – fovea. Ahol a gyűjtősejtek idegrostjai elhagyják a retinát – vakfolt – az agy felé nincsenek fotoreceptorok.

http://static2.origos.hu/i/1010/20101006szem.jpg

1.8. ábra - A retina felépítése

A retinán lévő fotoreceptorok száma hozzávetőlegesen 130 millió – 120 millió pálcika és 10 millió csap. A receptorok két fő típusa a csapok és pálcikák. A pálcikák több fotont képesen elnyelni több irányból, egy ganglionsejthez több pálcika idegrostja fut be, ezért erősítésük is jobb. Elsősorban a pálcikák felelősek a mozgás és fényesség érzékeléséért. A csapok három altípusát különböztetjük meg. Léteznek rövid, közép és hosszú hullámhosszakra érzékeny csapok, amelyek ezért a látható hullámhossztartományban elhelyezkedő kék, zöld és vörös színekkel azonosíthatóak. A zöld és vörös színekre érzékeny csapok érzékenységi tartományai igen közel vannak egymáshoz, ezért érthető, hogy miért alakulhat ki vörös-zöld színtévesztés. A kék színre érzékeny csapok jóval kevesebben vannak, ezért a kék fényben kevésbé látunk élesen. Az éleslátás helyén szinte csak csapok vannak, a periférián pedig szinte csak pálcikák. Ezért a fényintenzitás és mozgásészlelésünk a periférián, míg a színdiszkriminációs képességünk a foveán a legjobb. A fotoreceptorok sűrűsége a foveán a legnagyobb.

Ha a fotoreceptorokban lévő rodopszin – opszinból és retinalból áll – elnyel egy fotont, megváltozik a fehérje szerkezete és energia szabadul fel. Ezután a sejten belül elindít egy jelátviteli kaszkádot, amely számos fehérjét megváltoztat, majd kinyílnak a receptorsejt nátriumcsatornái és depolarizálódik. A neuronális jelet a fotoreceptor ezt követően a gyűjtősejtekhez továbbítja. A bipoláris, horizontális és amakrin gyűjtősejteken keresztül az ingerület a retinális ganglionsejtekhez továbbítódik – amelyekből 1 millió darab van a retinán – majd a vakfolton keresztül elhagyja a szemet az agy felé.

A tárgyaktól a retináig eljutó fényeloszlás voltaképpen a retinális kép. A tárgyak, amelyekről több foton érkezik fényesebbek, amelyekről kevesebb foton érkezik sötétebbek a látórendszer számára. A külvilág tárgyainak elemi pontjait reprezentáló fényintenzitás-eloszlást képnek hívjuk.

Végezetül tegyünk említést a látási hibák két alaptípusáról! A normál látású, emmetropiás szem optikai rendszere a tárgyak képét pontosan a retinára képezi le. A nagyobb sugarú lencsével rendelkező, távollátó vagyhiperópiás szem a tárgy képét a retina mögé képezi le ezért a kép nem lesz éles, nem lesz fókuszált. Mivel ez esetben a szemlencse görbületi sugarát csökkenteni, konvexitását növelni kellene, a távollátó szem korrekciója konvex – domború – szemüveggel lehetséges. A rövidlátó, miópiás szem szemlencséjének görbületi sugara kisebb, ezért a tárgy képét a retina elé képezi le. Mivel ez esetben a lencse túlzottan is konvex, a korrekció konkáv lencsével korrigálható. Így a szemlencsét elhagyó sugarak kevésbé lesznek széttartóak, és a leképezés a retinára esik.

http://archive.ck12.org/ck12/images?id=113451

1.9. ábra - Akkomodációs hibák (balra: miópiás szem, jobbra: hiperópiás szem, alul: ezek korrekciói)

Mint azt az imént kifejtettük, a fotoreceptorok neuronális jelei a gyűjtősejteken – bipoláris, horizontális és amakrin sejtek – keresztül a retinális ganglionsejtekhez jutnak. A ganglionsejtek száma körülbelül 1 millió. Mivel minden csap és pálcika jele eljut egy ganglionsejthez, ebből következik, hogy egy ganglionsejthez átlagosan 130 darab receptor jele továbbítódik a gyűjtősejtek közvetítésével. Stephen Kuffler és munkatársai – magyar származású orvos neurológus – 1952-ben fedezte fel azt a jelenséget, hogy a ganglionsejtekhez tartozó fotoreceptorok ingerlésekor a kisebb átmérőjű fényfoltra nagyobb reakciót adott a sejt. Ebből arra következtettek, hogy a ganglionsejtekhez kapcsolódó fotoreceptorok egy kvázi kör alakú, úgynevezett receptív mezőt alkotnak, amelynek a közepén lévő receptorokat ingerelve növelhető, a perifériát ingerelve pedig csökkenthető a ganglionsejt reakciója. Amennyiben az ingerlő fényfolt mérete akkora, hogy belelóg a szélső területekbe, a ganglionsejt gátlás alá kerül, és kisebb reakciót ad, mint ha csak a receptív mező közepét ingerelnénk. Ebből az következik, hogy a retina fotoreceptorai végső soron nem egyenként adnak visszajelzést a fényerősségről, hanem receptív mezőkbe tömörülve téri integrációt végeznek. A receptív mező elmélet egyik legismertebb demonstrációját az úgynevezett Hermann-rács adja. Később születtek elméletek, melyek szerint a Hermann-rács illúziója nem csupán a retinális feldolgozás eredménye, hanem magasabb agyi folyamatok is szerepet játszanak benne. A retinális kép feldolgozásának első és legjelentősebb állomása tehát a retinális ganglionsejtek lényeges változásokat kiemelő mozzanata. Kétféle retinális ganglionsejtet különböztetünk meg. Az egyik a receptív mező közepén ingerelve fokozza az aktivitását, a másik a receptív mező szélén ingerelve fokozza az aktivitását. Ezek az úgynevezett BE központú, KI szélű és KI központú, BE szélű ganglionok. A kétféle ganglionsejt teszi lehetővé többek között a világosságnövekedés és világosságcsökkenés egymástól független kódolását.

1.10. ábra - Receptív mezők

A retina és a látókéreg között a látópálya teremt kapcsolatot. Ez végső soron axonok – idegsejtek kommunikációs nyúlványai – kötege. A retinális ganglionsejtek axonjai alkotják tehát a látóideget. A látóidegek ez után kereszteződnek – bal és jobb szem idegkötegei – a caelsma opticumnál. Az orr felőli, nasalis részük ellentétes, a halánték felőli részük azonos oldalon halad tovább. Tehát tulajdonképpen a szembe balról érkező fény – kép – az agy jobb féltekéjébe tart. Innen egy részük az agytörzsbe megy, ahol a vegetatív folyamatok segítségére lesz, másik részük pedig a hipotalamuszban lévő CGL – corpus geniculatum laterale – területen átkapcsolódik. Az átkapcsolás után az idegrostok az úgynevezett látó kisugárzást alkotva a tarkólebenybe – okcipitális lebeny – tartanak, amelyet V1 területnek nevezünk.

http://fourier.eng.hmc.edu/e180/lectures/retina/node19.html

1.11. ábra - Látópálya és annak sérülései

A V1 látórendszer egy úgynevezett retiotopikus reprezentációval rendelkezik, tehát a területet alkotó, egymás szomszédságában lévő neuroncsoportok a retinán is szomszédos receptorokból származnak. A V1 területen a kép további módosulása is bekövetkezik. Nevezetesen, az itt lévő neuroncsoportok képi reprezentációja során a foveáról származó információ túlreprezentálása következik be. Tehát az éleslátásunk területét „kinagyítja” a V1 terület. Ezt nevezzük agykérgi nagyításnak.

Egy másik felosztás szerint a ganglionsejteknek van egy kiterjedtebb dendritfával – gyűjtő neuronális nyúlványok – és egy kisebb dendritfával rendelkező típusa. A nagyobb receptív mezővel rendelkező ganglionsejteket M sejteknek, a kisebb receptív mezővel rendelkezőket P sejteknek hívjuk. Az M sejtek a CGL terület magnocelluláris rétegéhez, a P sejtek a CGL parvocelluláris rétegéhez kapcsolódnak. Mivel az M sejtekhez több receptor tartozik, azért a téri felbontóképességük rosszabb, mint a P sejteknek, viszont az M sejtek idői felbontóképessége sokkal jobb, mint a P sejteké, mert aktivitásuk kevesebb ideig marad fenn. Továbbá az M sejtek csak világosságot kódolnak, a P sejtek színeket is.

http://www.floiminter.net/psychology/brain_and_behaviour/dorsal_ventral.png

1.12. ábra - Látásért felelős agyterületek

A V1 területről az információk agy része az egy felső részébe, a parientális lebenybe tart a dorzális területre, egy másik részük az agy alsó részébe, a temporális lebenybe tart a ventrális területre. A dorzális területre az M sejtek ingerületei tartanak, a ventrális területre a P sejtek ingerületei tartanak. Az M sejtek inkább a mozgás és a gyors idői változások lekövetéséért felelősek, a P sejtek inkább a finom részletek, a szín, a textúra reprezentálásáért.

http://msdlt.physiol.ox.ac.uk:8081/photospace/image//MESH/A08/612/220/860/MandPCells.jpg

1.13. ábra - Az M sejtek és a P sejtek arányai

Az emberi szem retináján négy különböző spektrális érzékenységű fotoreceptor található. A pálcikáknak csupán a fényintenzitás változásának detektálásában van szerepe. A három csaptípus azonban tökéletesen alkalmas arra, hogy megfelelő feldolgozás, összehasonlítás után képes legyen differenciálni a különböző frekvenciájú sugárzásokat, fényeket. A három csaptípusunk különböző spektrális érzékenységi görbével rendelkezik, amelyeket ezért hosszú, közép és rövid hullámhosszú csapoknak vagy kék, zöld és vörös csapoknak nevezünk. A három csapot különböző energiával érkező fotonok ingerlik. Az kék, zöld és vörös csapok érzékenységi maximumai rendre 440, 545 és 575 nm hullámhosszúságú, látható sugárzásnál vannak. A közepes és hosszú hullámhosszakra érzékeny csapok érzékenységi görbéi szinte egymásba simulnak. Ebből arra is következtethetnénk, hogy az ember evolúciója alatt kisebb változások, mutációk következtében az egykori két csaptípusból lassan differenciálódott egy harmadik, mert az jobban szolgálta a túlélést. A különböző típusú csapok bármilyen fotont is nyelnek el, minden esetben ugyanolyan válaszreakciót adnak. Ezt nevezzük az univariancia elvének. A színérzékelő receptoraink meglehetősen durva színdiszkriminációs képességgel rendelkeznek, ezért sok esetben két fizikailag eltérő színt pszichológiailag azonosnak ítélünk meg. Ezeket a színeket nevezzük metamereknek.

(Amennyiben az Olvasó több információt szeretne kapni az emberi látórendszerről, a megadott szakirodalmakon kívül az Optika TÁMOP tananyagunkat ajánljuk a figyelmébe.)

http://www.martin-missfeldt.com/art-pictures/visual-perception-seeing/retina-rods-cone.php

1.14. ábra - A retina fotoreceptorai (balra: pálcika, jobbra: csap)

http://webvision.med.utah.edu/book/part-iii-retinal-circuits/circuitry-for-rod-cells-through-the-retina/

1.15. ábra - A csapok és pálcikák sűrűsége a perinán (feketével: pálcikák, pirossal: csapok)

Tisztában kell lennünk azzal, hogy a színek észleléséhez sok lépcsőn keresztül vezet az út. Elsődleges a fényforrás, amely valamilyen spektrumú, összetett vagy monokromatikus fényt bocsát ki magából. Ez lehet természetes – Nap – vagy mesterséges fényforrás, mint például a halogén izzószálas vagy a LED fényforrás. Ezek a fényforrások adják azokat a frekvenciájú összetevőket, amelyek a tárgyakon visszaverődnek. A tárgyak felületének színe voltaképpen egy olyan görbével írható le, amely a beeső fényforrás spektrumából valamely hullámhosszakat visszaver, más hullámhosszakat elnyel. Ha fehér tárgyra fehér fénnyel világítunk, akkor a felület minden kibocsátott fényösszetevőt visszaver. Fekete felületről akkor beszélünk, ha a felület egyetlen hullámhosszon érkező fényösszetevőt sem ver vissza. A harmadik lépcsőfok a légkör, a közeg anyaga, amelyen keresztül a fény beérkezik. A világűrben például a rövid hullámhosszú fényösszetevők is haladhatnak, de a földi légkörben ezek jó része elnyelődik. A légkör tehát elnyeli a már szemükbe visszavert fény további alkotóelemeit, ezzel a visszavert fényösszetevők keveréke ismét módosul. A következő lépcsőfok az emberi szem, pontosabban a retina fotoreceptorainak érzékenysége. Szemünk is rendelkezik tehát egy érzékenységi görbével, amely megmutatja, hogy a különböző hullámhosszú fényösszetevőkre mekkora válaszreakciót várhatunk a receptorokról. A receptorokhoz érkező összetett fény színe pedig a receptorok reakcióinak összegzése után alakul ki, és még nem is beszéltünk a magasabb agyi folyamatokról. Látható tehát, hogy egy szín érzékelése mennyi mindentől függ, fizikai és pszichológiai téren egyaránt.

1.16. ábra - tárgyak színe

http://osijano.com/pedag/webkesz/04.html

1.17. ábra - A csapok és pálcikák relatív érzékenységi görbéi

A színek kognitív feldolgozásának előszobája az ellenszín-elmélet – opponens – amelynek mai formáját Dorothea Jameson és Leo Hurvich dolgozták ki 1981-ben. A modell szerint látórendszerünk a csapok jeleiből különbségeket állít elő, és ezzel határozza meg az adott színárnyalatot. A piros és a zöld csapok összevetéséből előáll egy piros-zöld különbségjel. Ez alkalmas annak eldöntésére, hogy az adott árnyalat inkább piros, vagy inkább zöld-e, esetleg azonos mértékben mindkettő. Ez után következik az egyesített piros + zöld csatornajel összehasonlítása a kék csapok jelével. Ha a kék a nagyobb intenzitású, akkor a színárnyalat kékes, ha nem, akkor sárgás lesz, esetleg azonos mértékben mindkettő. Végül a piros + zöld csatornajel összegzett intenzitása adja meg az akromatikus világosságérzetet.

1.18. ábra - Az opponens-szín elmélet

Feldolgozó rendszerünk rendelkezik bizonyos képességekkel, amelyek elősegítik, hogy a látórendszer által érzékelt információt különböző körülmények között is azonosnak értékeljük. Például a sárga taxit minden esetben sárgának látjuk, noha változnak a megvilágítási viszonyok, vagy az írólap világosságát mindig ugyanolyannak látjuk, pedig időközben besötétedett. Az előbbit színkonstanciának (színállandóságnak), utóbbit pedig világosság-konstanciának (világosság-állandóságnak) nevezzük. Létezik egy normálási folyamat is feldolgozás során, amikor is a látórendszerbe érkező képen túlzottan érvényesülő színtartományokat képesek vagyunk egy szintre hozni. Például naplementekor a narancssárgás fények miatt azokon a hullámhossz tartományokon (narancssárgás tartományon) a feldolgozórendszer csökkenti az érzékenységet. Azt a tényt, hogy a feldolgozórendszerünk az érzékelt területet kisebb szegmentumokra bontja, mi sem mutatja be jobban, mint a szimultán kontrasztjelenség, amelynél látható, hogy egy felület színezetét nagyban befolyásolja, hogy a szín milyen környezetben, kontextusban szerepel a képen. Sötétebb kontextusban ugyanaz a világosság világosabbnak tűnik, mint világosabb közegben. A színkontraszt ellentétes jelensége a színasszimilációs hatással, amelynél az alapszínt körülvevő színes csíkok a saját színezetük irányába tolják el az alapszín színezetét. Ezek a jelenségek a színlátás során érvényesülő magasabb agyi folyamatok jelenlétére utalnak.

http://h2oreuse.blogspot.hu/2011/04/red-lights.html

1.19. ábra - A színkonstancia jelensége

A Gestalt-elmélet szerint egy tárgy több, mint a részeinek összessége. A tárgyak felismerésében nagy szerepe van az alábbi, úgynevezett Gestalt-szabályoknak. Az adott mintázatot úgy látjuk, ahogy az a lehető legegyszerűbb. Az egymáshoz hasonlatos mintarészeket egymással csoportosítva látjuk. Az egy ívre illeszkedő részeket egy folytonos alakként értékeljük. Az egymáshoz közelebbi tárgyakat egyként kezeljük. Az együtt mozgó tárgyakat egyként kezeljük. Ha az előzőekben ismertük a tárgyak, akkor könnyebb a későbbi felismerés és a részek csoportosítása, az egész előállítása érdekében.

http://doktori.bme.hu/bme_palyazat/kutato_muhely/kognitiv_muhely/kognitiv_muhely_hu/index.html

1.20. ábra - Egy példa a Gestalt-szabályok alkalmazására (valójában a kép nem tartalmaz kockát)

A háromdimenziós mélységészlelésünk egy rendkívül összetett pszichológiai folyamat, mégis oly könnyedén használjuk a mindennapokban. Működtetése nem igényel tudatos erőfeszítést, teljesen automatikus, és mentálisan nem növeli a megterhelést. A tér és mélységészlelés azon folyamatok egyike, amely talán a leginkább rávilágít arra, hogy látásunkban csupán kis részt vállal maga a látószerv és hatalmas részt az agy. A térérzékelésben két fő jelzőmozzanat-típust különböztethetünk meg. Az egy szemmel is működő monokuláris és a két szemmel használható binokuláris jelzőmozzanatokat. Mint már utaltunk rá, az állatvilágban a növényevőknek általában a fejük két oldalán helyezkedik el a szemük, hiszen létfenntartásukhoz sokkalta fontosabb a nagy látótér, mint a mélységérzékelés. A ragadozóknak azonban fontosabb, hogy meg tudják becsülni prédájuk távolságát, így érthető, hogy az evolúció folytán a fejük elülső részére kerültek a szemek egymással egy síkban, hogy így a lehető legnagyobb binokuláris teret hozzák létre. Persze látnunk kell azt is, hogy a binokuláris látásunk csupán korlátozott távolságon belül használható hatékonyan, ezen kívül nem jobb, mint az egyszemes látás.

Az álltavilágban sok módját találhatjuk annak, hogy bizonyos fajok milyen módon érzékelik környezetüket. Gondolhatunk itt például a denevérekre, vagy a teljesen vak barlangi rákokra. De kibővíthetjük látókörünket azzal is, hogy az ember miként képes az őt körülvevő tér érzékelésére szemek nélkül - a karjait, a hangját, a kopogtatást és egyéb eszközöket igénybe véve. Számunkra azonban jelen téma kapcsán csupán a látás a fontos. Meg kell ismernünk mindazokat a folyamatokat, amelyek hozzásegítenek bennünket a térérzékeléshez.

Az alábbiakban áttekintjük a monokuláris jelzőmozzanatokat, megnézzük, hogy miből tudunk következtetni a tárgyak távolságára, ha csak egy szemmel nézzük azokat. Ilyenek a tárgyak retinális nagysága és relatív retinakép mérete, a horizonthatás, a takarási hatás, a perspektíva, a textúra, az elkékülési hatás, a légtávlat, a fény-árnyék játék, az akkomodáció és a mozgási parallaxis.

A retinális nagyság: Elsődleges jelzőmozzanat, hogy a térben elhelyezkedő tárgy mekkora területet foglal el a retinán. Ebből a feldolgozórendszerünk meg tudja becsülni az észlelt tárgy távolságát, amennyiben rendelkezik priori (előzetes) információval annak tulajdonságait illetően. Ha például egy kisautót látunk magunk előtt az asztalon, akkor felismerjük, hogy kisautó és nem gondoljuk azt, hogy egy valódi gépkocsi a távolban.

1.21. ábra - A retinális nagyság (a két autó azonos képmérettel bír, mégis el tudjuk dönteni, hogy melyik van távolabb, ha rendelkezünk megfelelő priori információkkal a tárgyat illetően)

A horizont hatás: A tárgyak távolságának becslésében az is segítség, hogy a látómezőnk horizontja fölött vagy alatt helyezkedik el. Minél feljebb van ugyanis, annál távolabbinak látjuk a tárgyat, és minél lejjebb van, annál közelebbinek.

http://posztinfo.hu/tudni-erdemes/tudni-erdemes-litvania/hogyan-is-lett-vilnius-litvan-varos/

1.22. ábra - A horizont-hatás

A takarásihatás: Ha egy tárgy eltakarja egy másik tárgy bizonyos részeit, akkor arra következtetünk, hogy közelebb van hozzánk. Ez a takarás jelensége.

http://ingyen-hatterkep.hu/free_wallpaper.php?k=1223&kp=70&a=20722

1.23. ábra - A takarási-hatás

Perspektíva: Szintén tanult és mélyen rögzült jelenség, hogy a párhuzamosnak gondolt élek a távolban összetartanak. Ez a lineáris perspektíva, amellyel becslést tudunk adni a tárgyak egymáshoz képesti elhelyezkedésére.

http://utazasok-nyaralasok.info/korutazasok

1.24. ábra - Perspektíva

Textúra: A textúrát személve észrevehetjük, hogy a közelebbi textúrákat jóval részletgazdagabbaknak találjuk, mint a távolabbi textúrákat. A részletgazdagsággal együtt természetesen a textúra elemeinek mérete is a távolsággal fordítottan arányos. Ha például egy macskaköves utat szemlélünk, láthatjuk, hogy a távolabbi kövek kisebbek és kevésbé részletgazdagok.

http://www.orszagalbum.hu/holdbeli-taj--_p_29224

1.25. ábra - Textúra

Az elkékülésihatás: A Nap összetett fénye a Föld légkörén áthaladva szóródik. A szóródás a kék tartományokban magasabb, így a nappali légkört kéknek látjuk. Ha egy távoli tárgy és közöttünk nagy légtömeg van, a tárgy képe elkékül. Ennek a kékülésnek a mértéke arányos a tárgy távolságával. Ezt az úgynevezett elkékülési hatást használhatjuk a távoli tárgyak, például hegyek távolságának becslésére.

Légtávlat: A távoli tárgyak nem csupán kékülnek a közbenső légtömeg miatt, hanem a kontrasztjuk is romlik, éleik elmosódnak, és színeik tompulnak. Az elkékülési hatással együtt ezt a jelenséget légtávlatnak nevezzük.

http://www.omniplan.hu/20070429-0501-Tirol/Tirol.htm

1.26. ábra - Az elkékülési hatás és légtávlat

A fény-árnyék játék: További segítség lehet egy tárgy térbeli elhelyezkedésének valamint kiterjedésének becslésére, a tárgyon feltűnő árnyék és fény viszonya, határvonala, illetve annak tranziense.

http://haerdekel.blog.hu/2011/04/29/az_illuzio_mestere_terhatasu_rajzok

1.27. ábra - A fény-árnyék játék

A relatív retinakép mérete: Ha látunk két tárgyak, amelyről nincsenek priori információink, illetve azonos méretűnek gondolnánk azokat, akkor a két tárgy közül azt látjuk nagyobbnak, amelyik mérete a retinánkon nagyobb.

Akkomodáció: Egy kevésbé kognitív jelzőmozzanat lehet a szemlencse akkomodációja. Ez a folyamat akkor következik be, amikor szemünkkel élesre szeretnék állni egy tárgyra valahol a térben. Ebben az esetben a szemlencse feszítőizmai úgy ernyednek el és feszülnek meg, hogy az egyik legtökéletesebb szabályozókört alkalmazva úgy állítják be a szemlencse görbületi sugarát, hogy a tárgy képe pontosan a retinára képeződjön le. Ez hasznos információ lehet a feldolgozórendszerünk számára a közelebbi – körülbelül 2 méterig bezárólag – tárgyak távolságának becslésére.

1.28. ábra - Akkomodáció

A mozgási parallaxis: Az azonos sebességgel mozgó tárgyak közül azt érzékeljük közelebbinek, amely gyorsabban halad át a látómezőnkön – a másikhoz képest. Ekkor a retinánkon egyfajta szögsebességet mérhetnénk, hiszen a retina gömbfelülethez hasonló alakú. Gondolhatunk például arra, hogy utazás közben a vonatból kitekintve a közeli fák nagyobb szögsebességgel haladnak át a retinán, mint a távoli házak. Ezt a jelenséget mozgási parallaxisnak nevezzük.

http://balatonszemes-csafoto.blogspot.hu/2009/11/balatonszemes-oszodi-villatelep-latkepe_22.html

1.29. ábra - A mozgási parallaxis

Az egyik legegyszerűbb binokuláris jelzőmozzanat a konvergencia. Amikor a két szemünkkel egy 6-10 méter távolságon belüli tárgyra nézünk, látórendszerünk a két szem tengelyét igyekszik összetartóan a tárgyra fordítani. Ennek a konvergenciának a foka fontos jelzőmozzanat a tárgy távolságának becslésére. Amennyiben a két szemtengely által bezárt szög kisebb, a tárgy távolabb van, amennyiben a szög nagyobb, a tárgy közelebb van.

A másik jelzőmozzanat a binokuláris parallaxis. A parallaxis eredendően a testek egymáshoz viszonyított helyzetének változása eltérő irányokból nézve. Tegyük fel, hogy a két szemünkkel egy tárgyra nézünk a térben! Emellett megjelenik egy másik tárgy is, amely az előzőhöz viszonyítva más-más helyen bukkan fel, attól függően, hogy melyik szemünkkel nézzük. Ha a két tárgy azonos távolságban van, akkor a két szemünkkel ugyanazt az elhelyezkedést látjuk. Ha a két tárgy különböző távolságban található, akkor az egyikre nézve, és a két szemet egyenként kinyitva azt tapasztaljuk, hogy a tárgyak távolsága változik a szemeink által látott képen. Ennek a vízszintes távolságváltozásnak, az úgynevezett parallaxisnak annál nagyobb a mértéke, minél nagyobb volt a két tárgy közötti különbség. Valós helyzetben persze minden esetben valamelyik tárgyra akkomodál a szemünk, ezért a másik tárgyat nem láthatjuk tisztán. Minél nagyobb volt a távolság, annál homályosabban látjuk azt. A háromdimenziós mozifilmeken ezt nem tapasztaljuk, hiszen szemlencsénk ilyenkor minden esetben a mozivászonra akkomodál.

Binokuláris jelzőmozzanat továbbá a tárgyak nézete is. Amikor két szemünkkel nézzük a közeli tárgyakat, akkor szemeink különböző nézetekből látják azokat, és ezért a retinánkra érkező kép nem csupán parallaxist tartalmaz, hanem a tárgyak más-más oldalának képét is. Egyik szemünkkel láthatunk olyan részletet a tárgyról, amit a másik szemünkkel nem, és fordítva. Ez a két kép közötti apró különbség is hozzájárulhat a tárgyak távolságának észleléséhez.

1.30. ábra - A binokuláris parallaxis és diszparitás

A diszparitás jelentése eltérés. Eltérés a két szem retinális képe között, pontosabban a két képen lévő tárgyak távolsága között. Úgy gondolhatnánk, hogy a teret teljes egészében térben látjuk, valójában azonban a teljes tér csak egy csekély szeletét látjuk valós sztereolátással. Azt a jelenséget, hogy két szemünk retináján két kissé különböző kép keletkezik, binokuláris diszparitásnak nevezzük. Horopternek hívjuk azt a térbeli felületet, amelynek minden pontját azonos szögből látjuk a két szemünkkel. Ha rögzítünk egy pontot a térben láthatjuk, hogy a tárgytól nagyobb vagy kisebb mélységben lévő egyéb tárgyakból kettőt látunk. A fixált tárgy körül van egy mező, amelyen belül működhet a valódi sztereolátásunk, azon kívül a képek szétesnek, és kettős látás jön létre. Ezt a mezőt sztereomélységnek hívjuk. Panum 1858-ban igazolta, hogy idegrendszerünkben létezik egy, az előbbivel összefüggésbe hozható mező. Ez azért lehetséges, mert az idegrendszerünkben létrejövő szerveződés retinotopikus, azaz a retina szomszédos receptorainak ingerületei az agy szomszédos neuroncsoportjaihoz kapcsolódnak. A sztereolátásért felelős agyi terület mikroszkóp alatt is láthatóan csíkozott, a két szem által alkotott képek ugyanis az egyik és a másik szem által küldött képrészleteket felváltva tartalmazzák.

http://www.apcthai.com/apc/page.php?id=22

1.31. ábra - A horopter és a sztereo látótér

Julesz Béla 1960-ban felfedezte, hogy a sztereolátást nem előzi meg az tárgyak azonosítása, mint ahogy azt addig hitték. A térbeli mélységet a retinális képeken lévő tárgyak felismerése nélkül is képesek vagyunk érzékelni. Julesz ezt a felfedezést a róla elnevezett random-dot (véletlen pont) sztereopárokkal bizonyította be. A Julesz-féle sztereopár két képet tartalmaz a két szem számára, amelyet szeparáltan kell bemutatni. Az egyik képen véletlen pontokat látunk, a másik képen pedig az előző kép kicsit módosított változatát. A módosítás lényege, hogy a kívánt alakzat pontjait a diszparitás mértékével eltoljuk balra vagy jobbra, és az üresen maradt képpontokat véletlenszerűen feltöltjük. Ekkor a személőnek azonnal előbukkan a kívánt alakzat, az előzetes felismerés nélkül. A kép nagyon stabil, pásztázó szemmozgásoknál is fennmarad.

http://psycnet.apa.org/index.cfm?fa=buy.optionToBuy&id=1991-00252-001

1.32. ábra - Egy Julesz Béla féle random-dot sztereogramm

Nem a szemünkkel, hanem az agyunkkal látunk [2.2.]. Ez természetesen az általános értelemben vett látáson belüli színlátásra is érvényes. A színinger lényegében a látás szervébe behatoló, fizikailag meghatározott hullámhosszú elektromágneses sugárzás [2.3.] hatására keletkező inger, amely a fiziológiai jellegű észlelet formájában kerül a pszichológiai szintű, agyi feldolgozásra, és váltja ki az érzékletet. A további vizsgálódásaink szempontjából a fény e hullámhossztartományának az emberi – teljes – idegrendszeri alapú látószervére gyakorolt fizikai, fiziológiai és pszichológiai hatásaként létrejövő színérzékletet jelenti [2.4.].

A színekkel, mint fény okozta érzékletekkel és annak egyéb kapcsolataival foglalkozó tudományág a színtan, amely a jellegénél fogva szorosan összefügg a fizikával, a fiziológiával és a pszichológiával. Objektív értelemben sem az elektromágneses sugárzás kitüntetett hullámhossztartományának, sem a minket körülvevő tárgyaknak, fényforrásoknak nincs színük, csupán a szemünkkel és az agyunkkal látjuk azokat színeseknek. A színtan tehát a színérzéklet kialakulásának, számszerűsítésének és mérésének elméleti, módszertani és gyakorlati kérdéseivel foglakozik. Szintén nagy jelentőséggel bír a színek - kereskedelmi és egyéb alkalmazástechnikai vonatkozásaik miatt - tulajdonságainak valamint paramétereinek szabványosítása.

2.1. ábra - A színingerek észlelésének folyamata

A továbbiakra vonatkozóan a színek osztályozásáról előrebocsátjuk, hogy a színérzet alapján nem tarka vagy semleges, illetve tarka színeket különböztetünk meg [2.5.]. A nem tarka színek csoportjába soroljuk a fehéret, szürkét, feketét, viszont a tarka színeket jelentik például a vörös, kék, sárga és ehhez hasonlók. Egy másik csoportosítás a forrásra vonatkozik, amely szerint egyes színek valódi fényforrásokból származnak, amilyenek például a Nap, a csillagok, egy viaszgyertya, egy halogén izzó, egy LED vagy egy izzólámpa. A nem önálló forrásként működő, nem világító tárgyakból származó színek az úgynevezett közvetett színek, amelyek például a testek, felületek színei. A közvetett színeket a szerint csoportosítjuk, hogy azok érzékelése reflexió vagy transzmisszió útján valósul meg, azaz visszaverten vagy átmeneti fényben szemléljük őket [2.6.].

A szín szót többféle értelemben is használjuk. Általában a minket körülvevő tárgyak, festékanyagok, sugárforrások megjelölésére alkalmazzuk. A fizikában a forrásból – annak típusától és jellegétől függetlenül – kilépő elektromágneses sugárzás emberi szem által érzékelhető hullámhossztartományba eső részének jellemzését jelenti.

A szakkifejezések helyes – és itt elsősorban a „szín” szó – használata a műszaki-tudományos gyakorlatban elengedhetetlen. A színes látással, és az azt létrehozó komponensekkel, illetve részben azok számszerűsítésével a színingermetrika foglalkozik, amely bevett fogalmait az MSZ 9620 számú szabvány rögzíti. Színes tárgy látványakor agyi funkciók működnek – és ahogy ezt már kifejtettük –, a pszichológia számára ezt észlelést – színészlelet – jelent, és az ehhez kapcsolódó jelenségek tárgyalása során az észlelet szó használata a helyes. Továbblépve azt is megállapíthatjuk, hogy a színészleletek okozója maga az optikai sugárzás, mely energetikai kérdéseivel a radiometria foglalkozik. Az átlagos emberi észlelő tulajdonságaira alapozva vezethetjük be a szabványosított, és a világítástechnikában széles körben használatos fotometriai fogalmakat és mennyiségeket, melyek így színingermetrikai mennyiségeknek tekinthetők. A színingermetrikai mennyiségekkel kapcsolatos vizsgálatok, számítások során meg kell jelennie az inger szónak, amely ezáltal azt jelenti, hogy színingermetrikai tárgyalásmódról van szó [2.7.]. Az elmélet és a gyakorlat szempontjából tehát különösen fontos a színészlelet és a színinger közötti fogalmi különbség, azok helyes és megfelelő helyen való használata. Így a szín kifejezést önmagában a színingermetrika területén kerülni kell, vagy ha használata indokolt, akkor azt előzetesen definiálni szükséges.

A tarka színeket három fontos tulajdonsággal jellemezzük, amelyek a legismertebb besorolás szerint a színezet (amelyet színárnyalatnak, színjellegnek illetve színnek is nevezünk), a telítettség és a világosság.

A színezet szempontjából megkülönböztetünk úgynevezett ős, illetve közbülső színeket, melyek az ősszínekből összetettnek látszanak. Sajátságos szempontok – általában a hasonlóság – alapján a színárnyalatok visszatérő sorozatba, úgynevezett színkörbe rendezhetők. A spektrumszínek ismert sorrendje: vörös, narancs, sárga, zöld és kék. Egy ilyen színkörben az egymással szemközt található színek úgynevezett ellentétes színek. Természetesen a színkörben található színárnyalatok száma nem véges.

A másik fontos paraméter a telítettség, amely lényegében a tarka szín fehértartalmával függ össze. Annál telítettebb egy színárnyalat, minél kevesebb fehéret tartalmaz. A fehértartalom növelésével a telítettlenség fokozható. A legtelítettebbek a spektrumszínek, a telítettségi fokozatok megkülönböztethetőségének mértéke a szem egyik fontos paramétere.

A harmadik fontos paraméter a világosság, amely energetikai vonatkozású fogalom.  Azonos spektrális energiaeloszlás esetén a szemünkbe jutó két fény közül az a világosabb, amely intenzitása nagyobb. Néhány kivételtől eltekintve megállapítható, hogy a tarka színek világossága a színérzetet viszonylag szerény mértékben befolyásolja.

Ismert tény, hogy spektrálisan eltérő színek azonos színérzetet válthatnak ki [2.8.]. Ezt a jelenséget nevezzük metamériának [2.9.], amely jellemzője, hogy két színárnyalat, egy adott megvilágításban egyformának tűnik, de más megfigyelési geometria vagy eltérő fényviszonyok esetén már különböznek [2.10.]. A metaméria a festék- és nyomdaipar komoly problémája, amely akkor lép fel, amikor a próbanyomat készítésénél fennálló fényviszonyok a felhasználásakor már nem állnak fenn. Kissé túlozva előfordulhat, hogy a műfénynél ellenőrzött próbanyomat kültéri felhasználásra kerül. A metaméria, mint hiba felléphet a szemlélő okán, mivel nincs két azonos színlátású ember. Így amit az egyik szemlélő azonosnak lát, azt egy másik ember, teljesen azonos körülmények között is eltérőnek észlelhet. Metaméria jellegű hibát okozhat a méretbeli eltérés is, ugyanis a látótér különböző részein érzékelt színek eltérőnek bizonyulhatnak. De ugyanígy különböző távolságokból vagy más látószög alatt szemlélt színek a kis területeken fellépő, eltérő fényviszonyok miatt különbözhetnek. Ez a jelenség elsősorban fémes csillogású festékek vagy hordozók, esetleg speciális bevonatok esetén fordulhat elő.

2.2. ábra - A metaméria jelenségének szemléltető ábrája

A színkeverés során különböző spektrális összetételű elektromágneses sugárzásokat hozunk egymással kapcsolatba azzal a céllal, hogy újabb színeket hozzunk létre. A színkeverés két fő típusát különböztetjük meg, az additív (összeadó) és a szubtraktív (kivonó) színkeverést. Megjegyzendő, hogy a szakirodalom több fajta – nem igazán elterjedt – színkeverést is megkülönböztet [2.11.]. Párhuzamos színkeverés esetén, két vagy több szűrővel létrehozott akromatikus színinger egyidejűleg esik egy síknak ugyanarra a pontjára, és ezt látja az észlelő. Soros színkeverésnél egyetlen akromatikus fényinger két vagy több színes rétegen, egymás után halad át, az észlelő ezt is egy sík ugyanazon pontjában figyeli meg. Időbeli színkeverés esetén színingerek felváltva lépnek be a megfigyelő szemébe, de olyan frekvenciával, hogy az csak a keveréküket észleli. Foltok színkeverésekor kis alakzatokat készítünk úgy, hogy a megfigyelő nem tudja őket felbontani, így csak a színingerek keverékét látja.

2.3.5.1. Az additív színkeverés

Az additív színkeverés minden esetben színes fények keverését jelenti úgy, hogy további fény esetén világosabb fényt kapunk. Mivel az ilyen színes fények összeadódnak, összeadó színkeverésnek is nevezzük ezt az esetet. Szemléltetésének legegyszerűbb módja, ha három vetítőegység elé külön-külön sugárutakba vörös, zöld és kék üveget helyezünk, és ezeket egy fehér felületre vetítjük úgy, hogy a színes alakzatok részben fedjék egymást. Ebben az esetben az egymásra kerülő színek egy világosabb színt hoznak létre, a három szín pedig egymással keverve fehéret ad. A vörös és zöld összeadása sárgát, a vörös és kék bíbort, míg a zöld és kék türkizt eredményez. Mivel itt a sugárzások, vagyis a színek, és nem színes anyagok keverednek, az additív színkeverést optikai színkeverésnek is nevezzük. Additív színkeverés valósul meg akkor is, amikor a szem érzékelőjének ugyanazon helyét gyors időközökben, váltakozó színű fénysugarak érik, vagy a különféle színű felületrészeket a felbontóképességnél kisebb látószög alatt nézzük. Ekkor a szem a színeket már nem tudja különválasztani. A nyomdaiparban alkalmazott többszínnyomás felületén a szem nem ismeri fel a raszterpontok színét külön-külön, hanem csak a keverékszínt.

Összefoglalva, az additív, vagy más néven összeadó színkeverés elnevezése onnan származik, hogy a jelenség létrehozása szempontjából kiindulásnak tekinthető alapszínek fényenergiái összeadódnak. Az ilyen típusú színkeverés leggyakrabban tapasztalható esete például az optikai rendszerű, több vetítőegységből egy közös ernyőre történő vetítés. Ennek az esetnek feleltethető meg a színes monitor vagy televízió is, amelynél a forrásból kilépő elektronok vezérelt pályákon haladva a képcső elülső üvegfala belső felületén található speciális anyagnak ütközve színpontokat hoznak létre. Ha az additív színkeverés alapszíneinek megfelelő anyagokat gerjesztünk, akkor megfelelő elrendezés és méret esetén, kellő távolságból szemlélve, és a részleteket már nem felbontva additív keverékszínek jönnek létre a szemben. Hasonló a helyzet az autotípia (rácsfelbontásos) nyomtatásnál is, amikor az alapszínekkel nyomtatott pontok, azok közelsége miatt nem bonthatók fel az emberi szem által. Kicsit más eset, amikor a színes felületrészek gyors időbeni váltásakor,a tehetetlenség miatt jön létre az additív színkeverés. Az összeadó színkeverés mindegyik változatára jellemző, és az bennük a közös, hogy a különböző alapszínekből származó fénysugarak a szemben gyakorlatilag egy időben egy színérzékelő elemet ingerelnek.

2.3. ábra - Az additív színkeverés

2.3.5.2. A Grassmann-törvények

A Grassmann-törvények [2.12.] a színek additív keverésének törvényszerűségeit írják le. Kimondják,

• hogy a színjellemzők meghatározására három független változó szükséges és elegendő,

• hogy az additív színkeverés szempontjából a színek jellemzői számítanak, és nem azok spektrális összetétele,

• ha a színek additív színkeverésében egy vagy több összetevőt folyamatosan változtatunk, az eredményül kapott jellemzők is folyamatosan változnak.

A Grassmann-törvények nem alkalmazhatók a perifériás, illetve a mezopos látás esetére, és akkor sem érvényesek, ha a vakítás jelensége lép fel. A jelentőségük megértése szempontjából értelmezésük különleges fontossággal bír. Az 1853-ban publikált Grassmann törvények azt jelentik a számunkra, hogy a keverékfény színét az összetevők színe szabja meg, és nem függ azok spektrális összetételétől. A gyakorlatban ez például azt jelenti, hogy a vörös és a zöld színek additív keverésével létrehozható sárga nem függ attól, hogy a létrehozó színkomponensek monokromatikusak-e, vagy sem, például keverékszínek. Minden színt három, matematikailag értelmezhető paraméterrel, a színezettel, a telítettséggel és az intenzitással lehet meghatározni. A keverés során az egyik összetevő folytonos változtatásakor a keverékszín is folytonosan változik, diszkrét lépések nélkül.

Összefoglalva és kissé más megfogalmazásban tehát a Grassmann-törvények kimondják, hogy egy szín leírásához három egymástól független adat szükséges és elégséges. A gyakorlatban ez például a színezetet, a telítettséget és a világosságot jelenti. Az adatok számára vonatkozó megkötés szerint három adat azért szükséges, mert a színlátás folyamata három különböző spektrális érzékenységű detektáló elemhez köthető. Az jellemzők kölcsönös függetlensége biztosítja, hogy azok közül kettőből matematikai módszerekkel a harmadik ne legyen meghatározható. Megjegyzendő, hogy a példaként említett világosság a három érzékelő elemtípus összegzett ingerültségi szintjét jelenti, valamint a becsapódó energia és a hozzá tartozó érzet logaritmikus összefüggést mutat. A fentebb tárgyalt metamer színek összeadó módszerrel kikevert színei szintén metamerek. Ennek gyakorlati jelentősége különösen nagy, mivel ez biztosítja, hogy például nyomtatásnál az előírtnak megfelelő színt állítsuk elő akkor is, ha a spektrális összetételek különbözőek. A keverés során a paraméterek folyamatos változtatásakor tapasztalható, az eredményül kapott színre vonatkozó jellemzők szintén folyamatosan változnak. Ennek következménye, hogy az additív színkeverésnél az egyik színből mindig el tudunk jutni egy másikba, a köztük lévő színárnyalatokon keresztül.

2.4. ábra - Hermann Günther Grassmann (1809-1877) [2.26.]

2.3.5.3. A szubtraktív színkeverés

A kivonó, vagy szubtraktív színkeverés esetén a fénysugár útjába kerülő színes anyagok módosítják annak spektrális összetételét. Ebben az esetben – az additive színkeveréstől eltérően – már egy meglévő fehér színből indulunk ki, és annak tulajdonságait az adott spektrális tartományban elnyelő vagy szóró eszközzel módosítjuk. Erre a célra a legtöbb esetben színszűrőket alkalmazunk, melyekre jellemző, hogy az összes színárnyalatot tartalmazó fehér fényből bizonyos hullámhossztartományokat átengednek, a többit viszont elnyelik, tehát a fehérből azokat kivonják, ez az új szín keletkezésének módja. A szubtraktív színkeverés törvényszerűségei természetesen az additív változaton alapulnak, arra vezethetők vissza.

A szubtraktív színkeverés leggyakrabban a festékek keverése, vagy azok egymásra történő nyomtatása során jön létre. A kivonó színkeverés egyik legismertebb, és szinte mindenki által megtapasztalható esete a színes film, illetve a színes fénykép keletkezése. Az alapszínek a cián, a magenta (bíborvörös) és a sárga, melyek teljes keveréke a fekete színt adja. A színhívásos elven működő színes filmek esetén a hordozóra egymás felett, az egyes additív színekre érzékeny anyaggal kevert zselatinréteget visznek fel. A fényérzékeny anyag általában valamilyen ezüsthalogén, mely az expozíció során energiát nyel el, és az érzékenységének megfelelő tartományban beérkező sugárzás hatására benne fotofizikai változások következnek be. Ennek során az ezüsthalogénben elemi ezűstcsíra gócok keletkeznek az elnyelt energiával arányos mennyiségben. Ez az úgynevezett látens kép, melyet egy színhívásnak vetnek alá, amely során az adott rétegben, a keletkezett elemi ezüstcsíra gócok mentén, az expozíció mennyiségével arányosan ezüst redukálódik ki, és a réteg érzékenységének megfelelő kiegészítő színű színezék is keletkezik. Következő lépésben az ezüstöt eltávolítva, megmarad a keletkezett színezék, amely a rajta áthaladó fehér fényből az eredeti szín kiegészítőjét hozza létre. A fenti esetben negatív filmet kapunk. A pozitív, az úgynevezett diakidolgozás esetén, az első lépés egy egyszerű redukció, amely során a rétegekben a beexponált helyeken ezüst keletkezik. Az ezüst eltávolítását követően a rétegekben az összes megmaradt ezüsthalogént beexponálják, majd ezután következik a színhívás, amely így az eredeti színeket fogja eredményezni, azaz pozitív kép keletkezik.

2.5. ábra - A szubtraktív színkeverés

Nyomdatechnikában negyedik színként általában a feketét használják, mivel a nyomtatásban viszonylag sok a fekete színű felület. A három alapszínből történő összenyomásnál jobb minőségű a feketével történő nyomtatás. A valóságban általában nem tisztán additív vagy szubtraktív színkeveréssel magyarázhatjuk a színek keletkezését, hanem a kettő keveredésével. A nyomdatechnikában gyakran készítenek olyan színes nyomatokat, amelyek esetében az egymásra hordott festékek nem tökéletesen fedik egymást, azaz nem takarják ki az alattuk lévő színt, hanem átlátszóak.

A szubtraktív színkeverés alapkísérlete az egymás után elhelyezett – a feladatnak megfelelően megválasztott spektrális tulajdonságokkal rendelkező – színszűrőkkel vagy úgynevezett színes optikai ékekkel vitelezhető ki. Az egymás után elhelyezett szűrők esetén a fényforrás fehér fényéből az első színszűrő kivon egy részt azáltal, hogy a megfelelő rész elnyelődik. Ezután a megmaradó nyalábból a következő szűrő szintén kivon egy részt. Amennyiben ezeket, az egymást követő szűrőket sárga, bíbor és zöldeskék színűnek választjuk, akkor ezen szubtraktív alapszínek keverésével az additív színeket és a fekete színt is elő tudjuk állítani.

Például, a bíbor és zöldeskék szűrő kivonó jellegű alkalmazásával a kék additív színt kapjuk. Megjegyzendő, hogy ebben az esetben a példa nem általánosítható, mivel a kivonó szín­keverés eredménye – nem úgy, mint az összeadó színkeverés esetén – függ az egyes szubtraktív szűrők spektrális eloszlásának tulajdonságaitól. A festékiparban elterjedt festéktípusok színes részecskéi, az úgynevezett pigmentek keveredésénél, azaz a festékkeverésnél a kivonó színke­verésnek megfelelően keletkezik az eredő szín. Például fehér alap esetén sárga és kék festék keverésével nem az összeadó keverés tulajdonságainak megfelelő fehér, hanem a szubtraktív módon létrejövő zöld keletkezik. Általános szabályként fogalmazható meg, hogy az észlelt tárgyszín mindig a felület által elnyelt szín kiegészítő színe lesz.

2.6. ábra - A bíbor szín szubtraktív keverésének módja

2.7. ábra - A sárga szín szubtraktív keverésének módja

2.8. ábra - A kékeszöld (türkiz) szín szubtraktív keverésének módja

2.9. ábra - A vörös szín szubtraktív keverésének módja

2.10. ábra - A zöld szín szubtraktív keverésének módja

2.11. ábra - A kék szín szubtraktív keverésének módja

Az első mérésekre alapozott trikromatikus színleírás Wright [2.14.] és Guild [2.15.] nevéhez fűződik, akik egymástól függetlenül végeztek vizsgálatokat, és tettek javaslatot az eredményeik alapján. Az eredeti kísérletben a színkép monokromatikus színeit 2-fokos látószög alatt szemlélve, tizenhét megfelelőnek tekinthető színlátású személy kevert színekkel hasonlította össze 5 nm-es lépésközökben változtatva. Ez a változtatás a kevert színek fényerősségét érintette, melyeket három, 650, 530, 460 nm-es színszűrővel, 4800 K° színhőmérsékletű fényforrás mellett állítottak elő. Azok a fényerőkülönbségek, amelyek a színt, mint stimulusokat (gerjesztéseket) meghatározták, derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolhatók, és a következő azonossággal jellemezhetők:

A kísérlet konkrét kivitelezése során zárt, fényszegény helyen elhelyezett berendezésben,  a kék, zöld és vörös fényforrások változtatható fényintenzitással világították meg egy gipsz prizma matt fehér felületét. A prizma másik oldalára az adott színmintát helyezték el. Az ép színlátású vizsgálati személy a három fényforrás segítségével a színminta színét additív módon keverte ki, azaz a fények intenzitását addig állította, amíg a két oldalon színazonosság nem tapasztalt. Mérési adatként az adott színmintához tartozó, fényforrások által kibocsátott fénysűrűség-értékeket rögzítették. Ezzel a módszerrel, tapasztalati úton minden színt kimértek. A tapasztalat az volt, hogy előfordultak színek, amelyeknél a három szín keverésével színazonosság nem volt létrehozható. Ilyen esetben azt a megoldást alkalmazták, hogy a keverendő színekből egyet átvezettek a másik oldalra, azaz rávetítették a kikeverendő színmintára. Így a túloldalra vetített színmintához tartozó érték negatív előjelű lett. Ez az eredeti minta reprodukálásánál problémát jelentett. Természetesen ez azt a problémát vetette fel, hogy ebben az RGB rendszerben lévő negatív értékek miatt, az eredeti minta színeit – tisztán additív úton – nem lehetett visszaállítani.

2.12. ábra - A színmeghatározás módszere

Az eredeti kísérletekre alapozva a CIE által választott alapszínek a 700 nm hullámhosszúságú vörös (R), az 546,1 nm-es zöld (G) és a 435,8 nm-es kék (B) spektrumszínek lettek. Kísérletileg igazolták, hogy ha e vörös, zöld és kék alapszínek 1 : 4,5907 : 0,0601 arányban keverednek, akkor egy úgynevezett egyenlő energiájú fényforrás – azaz állandó spektrális teljesítmény-eloszlású, a 380-tól 780 nm-ig terjedő hullámhossztartományban ugyanakkora kisugárzott teljesítményű – fehér színt kapunk. Mindezek alapján az (R) = 0,176 97 lm, (G) = 0,812 40 lm és a (B) = 0,010 63 lm értékeket az alapszínek egységnyi R, G, B mennyiségeinek tekintjük. Megállapodás szerint egy egységnyi vörös, egy egységnyi zöld és egy egységnyi kék keveréke 1 lm fehéret eredményez. Ha egy megadott szín kikeveréséhez R, G, ill. B egységnyi kell az alapszínekből, akkor az eredő szín világosságára érvényes, hogy

Az együtthatók az úgynevezett trikromatikus összetevők. Az alapszínek egységei ismeretében kísérletileg meghatározhatók a spektrumszínek kikeveréséhez szükséges arányok. A színkép minden hullámhosszához három érték tartozik: r, g és b. Ilyen arányban kell az (R), (G), (B) alapszínegységeket keverni az adott hullámhosszú spektrumszín eléréséhez. Tehát a színkoordináták lehetővé teszik, hogy a színeket két dimenzióban ábrázolhatjuk úgy, hogy az egyik tengelyen például az r-et, másikon a g-t jelenítjük meg. A harmadik koordinátára érvényes, hogy

2.13. ábra - A CIE 1931 színmérő rendszer alap színingert megfeleltető függvényei

Az eredeti RGB a negatív előjelek miatt gyakorlati célokra nem használható, ezért célszerű rajta egy olyan matematikai transzformációt végrehajtani, amely eredményeként a már transzformált színrendszer csak pozitív színösszetevőket tartalmaz. Ebben eltűnnek a negatív előjelek, de túltelítetté válnak a színek, azaz a valóságban nem létező, virtuális színek jönnek létre [2.16.]. A Nemzetközi Világítási Bizottság 1931-ben ezért olyan szín-összehasonlító segédfüggvények bevezetését javasolta, amelyek segítségével Wright és Guild eredményei egy olyan téren belül helyezhetők el, ahol minden érték pozitív. Ezen felül a színkoordináták nemcsak vizuális összehasonlítással, hanem azok spektrális energia-eloszlása alapján, elméleti úton is meghatározhatók. Tehát a CIE javaslata az volt, hogy az (R), (G) és (B) alapszínek helyett minden valóságos színre kizárólag pozitív koordinátákat adó alapszínek kerüljenek bevezetésre. Az új alapszíneket úgy választották meg, hogy az általuk alkotott alakzat teljesen körülzárja a spektrumvonalat és a bíborvonalat, így az r, g, b rendszer analógiájára generált x, y, z rendszerben minden valóságos szín koordinátái pozitívak.

Az alakzat kiválasztására a CIE az alábbi követelményeket állította fel [2.17.]:

2.14. ábra - A CIE 1931 színmérő rendszer színingert megfeleltető függvényei

Mindezek alapján a transzformációs formulák [2.18.]:

Az X, Y, Z színösszetevőkből számíthatók az x, y, z színkoordináták:

Können belátható, hogy

Az átszámítás fordított irányban is megvalósítható:

A színek kezelése, jellemzése és mérése során a rendszer jól vizsgázott, így jelenleg elfogadottnak tekinthető. Egy szín helye ebben a rendszerben az x, y színkoordinátákkal, világossága pedig az Y színösszetevővel jellemezhető. A színösszetevők a ɸ(λ) színinger-függvény ismeretében egyszerűen meghatározhatók:

Ahol

Ábrázolástechnikai érdekesség, hogy a CIE xyY színháromszögben meg szokták rajzolni a Planck vonalat, és a szabványos megvilágítások színpontjait (A,B,C) is

2.15. ábra - A CIE xyY színháromszög

2.16. ábra - A CIE 1931 színességi diagram

2.17. ábra - A Planck-vonal és a korrelált színhőmérséklet értelmezése

Az RGB színrendszer a monitorok színképzése során lejátszódó jelenségekre alapozva jött létre.

A katódsugárcsöves, úgynevezett CRT monitorokban egy elektronágyú nyalábbal bombázza a foszforborítású üveglemez felületét. Az elektronnyalábot elektromágneses tér téríti ki, írányítja az ernyő megfelelő pontjába, ahol az a foszforborításba ütközik fényjelenséggel kísérve. E fényjelenség spektrális összetételét alapvetően a foszforborítás kémiai tulajdonságai határozzák meg. A színes CRT monitoroknak három alapszínük van: a vörös, a zöld és a kék (RGB). Ezek additív keverésével egyéb színek állíthatók elő. A fénysűrűség növelése az elektronok kinetikus energiájának növelésével történik. A monitor RGB komponenseivel azt határozzuk meg, hogy a vörös, zöld és kék érzetet keltő spektrumok milyen keverék hozza létre az elvárt színérzetet [2.19.].

A CMY, vagy más néven a szubtraktív színrendszer alapmodellje a nyomtatás során lejátszódó színkeverés. Ebben a rendszerben azt mondjuk meg, hogy mennyi kékeszöld (Cyan), bíbor (Magenta) és sárga (Yellow) színt kell kivonni a fehérből, hogy a keverék a kívánt színérzetet keltse [2.20.], vagy a gyakorlatban mennyi ilyen festéket kell felvinni a fehér lapra a megkövetelt színérzet kiváltása céljából. A CMY színrendszer úgy származtatható RGB-ből, hogy a derékszögű koordináta-rendszerben történő ábrázolás esetén, a színek és inverzeik felcserélődnek. A koordináta-rendszer kezdőpontjában a fekete található, és az alapszínek a tengelyeken helyezkednek el. Az átalakítás összefüggései:

CMYK rendszer alkalmazását az indokolja, hogy a három alapszín csak elméletileg ad feketét, a gyakorlati kivitelezés során ez azonban csak sötétbarnának felel meg. A fekete festékanyag alkalmazásával ez a probléma orvosolható, továbbá a mély színek intenzitása fokozható. A fekete kulcsszín (Key) alkalmazása esetén az alapszíneket arányosan módosítani kell, ezért az eljárást alsószín-eltávolításnak (Undercolor Removal) is nevezzük [2.21.]:

2.18. ábra - A CMY színrendszer

Az RGB és CMY színrendszerek jellegükből és származtatásukból eredően fizikai megközelítést tükröznek, így nem tekinthetők igazán szemléletesnek. Közelebb áll az emberi gondolkodáshoz, ha a színt annak árnyalatával, fényességével és a telítettségével jellemezzük. Ebben a rendszerben a koordináta-tengelyeken elhelyezett testen ábrázolhatjuk a színeket úgy, hogy a főátlón lévő relatív távolságot a fényességnek (Lightness), a színárnyalatot meghatározó szöget az árnyalatnak (Hue), illetve a főátlótól a kocka széléig mért relatív távolságot pedig telítettségnek (Saturation) tekintjük. A főátlóra merőleges körökben a szürke középen helyezkedik el, arra nézve szimmetrikusan találhatók a komplementer színek, melyek keveréke a szürke (kivételes esetben fehér). A színkeverésben részt vevő sáv szélessége lényegében a telítettséget jelenti, értékének változása során a megadott szín távolabbi szomszédainak a szín kikeverésében való részvétele változik. A HSB modell a HLS modellel megegyezik, csak az L (fényesség) helyett a B (Brightness, világosság) szerepel.

A szín(inger)tér a színingerek geometriai – általában háromdimenziós térben történő – szemléltetésére szolgál, azok valamilyen elv szerint definiált skála alapján való elrendezését mutatja. A színtest a színingertér azon része, amely a felületszíneket tartalmazza. A CIE 1931 XYZ szabvány egy színteret definiál, a neki megfelelő test magában foglalja az összes, az emberi szem által látható színt. Sajnos jelentős hátránya, hogy nem egyenletesen mutatja a színeket, tehát a színváltozásokhoz tartozó geometriai távolságok nem egyeznek meg. Tehát az a színtér, melyben az X, Y és Z értékekkel jellemezzük a színpontokat, nem egyenletes. Az egyenletes – ahol az azonos méretű elmozdulások mindig ugyanakkora színváltozást eredményeznek – színingertér megvalósítására való törekvés komoly múltra tekint vissza. Az egyik, már közel egyenletes eloszlású a CIELab [2.22.] színingertér, amely az ellentétes színpárok rendszerén alapul. Benne a pirosság vagy a zöldesség mértéke kifejezhető egyetlen koordinátával, az a-val. A kékesség, illetve a sárgaság pedig egy másikkal, a b koordinátával. A harmadik koordináta az L, a szín világosságának felel meg. Az X, Y és Z trikromatikus értékeket a CIELab színinger tér L*, b* és a* derékszögű koordinátákká transzformáló egyenletek egy neutrális fehér referencia mellett a következők:

ahol X, Y, Z a színes tárgy trikromatikus értékei, és X₀, Y₀, Z₀ a szabványos fehér trikromatikus mérőszámai úgy, hogy teljesülnek az alábbi feltételek:

A fentiek alapján minden színhez egyértelműen hozzárendelhető a színtérben egy színpont, három koordinátával megadva. A CIELab színezeti szög a színpont színezetét jellemzi:

A CIELab króma a telítettség jellemzője, a színpontnak az L* tengelytől való távolsága:

A mintákhoz tartozó színpontok egymáshoz viszonyított geometriai távolságaiból [2.2.] a minták közötti színeltérés kiszámítható. A színingerkülönbséget a színtérben értelmezett A színpont és R etalon, vagy referencia, mint vonatkoztatási színpont közötti térbeli geometriai távolsággal adjuk meg [2.23.].

Megjegyzendő, hogy a szakirodalomban az egyenletes színtérre vonatkozóan gyakran használják az érzethelyes jelzőt. A CIE ajánlásai szerint jelentőséggel bír még a CIE Luv is, melyben az u és a v értékek a CIE XYZ értékekből számíthatók [2.24.].

2.19. ábra - Példa egyenletes színtérre

2.20. ábra - A színinger különbség értelmezése a színtérben

Egy színes megjelenítő, például egy katódsugaras (CRT) monitor az egyes színingereket tristimulusos módon, azaz három komponensből keveri ki. Ennek oka lehet az is, hogy az emberi szemben additív módon zajlik a színkeverés, és az ember látószerve trikromatikus felépítésű, azonban emellett technológiai okok is felsorakoztathatók, ahogy az a színes nyomtatásnál egyértelmű. Működését tekintve a megjelenítő üvegből készült homlokfelületének belső részét – mátrixos elrendezésben – különböző spektrális tulajdonságú fénypor-keverék borítja, melyet vezérelt, és megfelelően eltérített elektronsugarakkal gerjesztünk. A fénypor összetevőit úgy választották meg a spektrális tulajdonságaik alapján, hogy segítségükkel széles tartományban nyíljon lehetőség a színingerek kikeverésére. Maga a keverés additív módon történik, azaz a mátrixba rendezett felületelemek az elektronsugaras gerjesztés hatására felvillannak. Kellő távolságból szemlélve, a megfigyelő számára az egyes mátrixelemek már nem különböztethetők meg, azaz a struktúra nem oldódik fel, így csupán az additív módon kikevert eredő színinger érzékelhető. Ha a megjelenítő különböző területein kikevert színingerek vizuális különbségét kívánjuk meghatározni, akkor annak saját rendszerében megadott, az egyes csatornákra vonatkozó értékeit – melyek az elektronnyaláb vezérléséért felelős DAC (digital-to-analog converter) értékekeit jelentik –, a megjelenítőnél alkalmazott fénypor-keverék spektrális tulajdonságai ismeretében egy eszközfüggetlen rendszerbe (CIE XYZ) kell konvertálni, majd ezen értékek segítségével egyenletes színtérben (CIE L*a*b*, vagy CIE L*u*v*) a különbség (ΔE) számítható.

Példa:

Hozzunk létre katódsugaras (CRT) megjelenítőn egy-egy vörös és zöld színingerpárt úgy, hogy azok DAC értékei egységnyi különbségűek legyenek! Határozzuk meg, hogy mely színingerpár különbsége a nagyobb!

2.21. ábra - A feladat értelmezése

2.22. ábra - A CRT monitorokon megvalósuló additív színkeverés gyakorlati kivitelezésének lehetséges módozatai

Megoldás:

Legyenek a beállított színingerpárok a monitor saját rendszerében R₁(255;0;0), R₂(254;0;0), illetve G₁(0;255;0), G₂(0;254;0). Az eszközfüggetlen rendszerbe történő transzformáció során szükségünk van az egyes csatornák színporkeverékei által gerjeszthető színingerek spektrális összetételére, ami spektrofotométerrel mérhető. Sajnos az estek jelentős részében ez nem áll rendelkezésre, vagy a mérés nem kivitelezhető. Ilyenkor a típusadatok alapján a konkrét megjelenítőre vonatkozó gyári adatok beszerzésére vagyunk kényszerítve. Ezek az adatok általában publikusak, ha nem is a konkrét spektrális összetétel, hanem az egyes csatornákra, illetve az azon megjeleníthető fehér színingerre vonatkozó CIE x,y,z adatok formájában.

2.23. ábra - CRT monitor csatornáinak spektrális eloszlásfüggvényei [2.25.]

A transzformációs mátrix elemeinek meghatározásához szükséges értékek:

Ha az Y relatív értéke egységnyi, akkor

Az így kapott transzformációs mátrix lehetővé teszi a megjelenítő RGB-értékeinek XYZ-rendszerbe történő transzformációját, amiből a vizsgált színingerek színkülönbségei már számíthatók.

A csatornákra vonatkozó spektrális eloszlásfüggvények alapján, a CIE 1931 színmérő rendszer színingermegfeleltető függvényei segítségével az X, Y, Z értékek számíthatók.

Az így kapott X, Y, Z értékekből az egyes csatornákra, illetve az additív színkeverés miatt a fehér színingerre vonatkozó színkoordináták szintén számíthatók:

Értékeik:

A transzformációs mátrix:

A vizsgált színingerek és a fehér X,Y és Z értékei:

Az L­*, a* és a b* értékei:

A fenti adatok segítségével végzett színkülönbség-meghatározások alapján, a vörös színingerpár színkülönbsége 0.2180, míg a zöld páré 0.2137. Megállapítható, hogy a két vörös színinger ugyan távolabb van egymástól, de mindkét színingerpár még az érzékelhető érték alatt helyezkedik el.

2.24. ábra - A feladat megoldásának menete

Grafika tárolására két alapvető stratégia létezik. Az egyik eset, amikor a kép olyan mintha ceruzával rajzolnánk. Ilyenkor a kép adatainak tárolása úgy történik, hogy tároljuk a kép rajzolásához szükséges vonaldarabok (vektorok) adatait, és ennek alapján megrajzolhatjuk a képet. Az ilyen tárolási módot vektoros képtárolásnak hívják. A 3.1. ábra - Vektoros A egy nagy A rajzolatát mutatja vektorosan.

3.1. ábra - Vektoros A

Lehetőségünk van arra is, hogy a képet képpontokra (raszterpontokra) osszuk és minden egyes pontról tároljuk annak színét. Ezt a raszteres képet a térképhez való hasonlatossága miatt bitképnek hívjuk. A 3.2. ábra - Raszteres A egy ilyen fekete-fehér bitképét mutatja egy A betűnek.

3.2. ábra - Raszteres A

Matematikai tanulmányainkból ismertek a Descartes féle derékszögű koordináta-rendszer, a henger és gömbi koordináta-rendszerek egyaránt.

Az olyan koordináta-rendszereket nevezzük homogénnek, amelyekben a pontot azonosító, rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva, ugyanazt, a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk [3.1.].

Ha egy síkbeli pontot szeretnénk leírni, akkor azt megtehetjük úgy, hogy a síkot kiemeljük a térbe. A z=1 lesz a sík egyenlete, és a tér pontját az [x,y,1] homogén koordinátákkal megadott ponttal jellemezzük. Világos, hogy az azonos irányú [λ*x, λ*y, λ] ugyanaz a pontot jelöli ki a síkból (3.3. ábra - Homogén koordináták)

3.3. ábra - Homogén koordináták

Hasonlóan járhatunk el térbeli koordináták esetén a negyedik koordináta (w=1) értéket választva a tér pontjait az [x,y,z,1] homogén koordinátás forma írja le.

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók. Például, a 3.1. ábra - Vektoros A esetén az [1,0,0] homogén koordinátákkal megadott pont az x irányú ideális pontját adja a síknak

A fenti megfontolások alapján a paraméteres görbemegadást használjuk. Ennek lényege, hogy egy, a koordinátáktól független paraméter-intervallumot választva, a t paraméter () függvényeként írhatjuk fel a görbe pontjainak (x,y,z) koordinátáit (3.3).

Gyakorlatilag tehát a térgörbét, mint egy vektor-skalár függvényt ábrázoljuk (3.4) [3.2.].

Egy térgörbe akkor és csak akkor folytonos, ha koordinátafüggvényei folytonosak. Tehát

Az intervallumon folytonos függvényeket C-vel jelöljük, a felső indexben 0-val (0. derivált folytonos), az alsó indexben az intervallummal.

Egy térgörbe akkor és csak akkor folytonosan differenciálható (a felső indexben az első deriváltat 1 jelöli), ha koordinátafüggvényei folytonosan differenciálhatók (3.6). Tehát

Hasonlóan egy térgörbe akkor és csak akkor kétszer folytonosan differenciálható, ha a koordinátafüggvények kétszer folytonosan differenciálhatók (3.7).

Definiáljuk a geometriai folytonosság fogalmát!

Definíció: Két csatlakozó görbeszakaszt a csatlakozó pontban k. rendben geometriailag folytonosnak mondunk – és G^k-val jelöljük – akkor és csak akkor, ha mindkét görbeszakasznak létezik olyan paraméterezése, hogy a görbék a pont két oldalán számított paraméter szerinti i. deriváltjai (ahol ik) megegyeznek.

Ha a fenti definíciót a G¹ elsőrendű folytonosságra fogalmazzuk át, akkor a következő definíciót kapjuk.

Definíció: Két folytonos (C⁰) görbe akkor és csak akkor folytonos geometriailag 1. rendben (G¹), ha a csatlakozó pontban a két görbe érintővektora egy irányba mutat. Más szavakkal, ha f(u) és g(v) görbék csatlakoznak akkor a csatlakozási pontban f’(u) és g’(v) párhuzamosak, és skaláris szorzatuk nem negatív. (3.4. ábra - G¹ görbecsatlakozás)

3.4. ábra - G¹ görbecsatlakozás

Érdemes megjegyezni, hogy elegendő csak az egyirányúságot kikötni, hiszen az egyik oldalon lineáris átparaméterezéssel a görbe „bejárásának” sebessége skálázható. A második megfogalmazásban a skaláris szorzatra való megkötés a párhuzamos, de ellenkező irányba mutató érintőket szűri ki.

3.5. ábra - Nem G¹ görbecsatlakozás

A G² másodrendű geometriai folytonosság meghatározására igaz a következő, G. Neilson nevéhez fűzhető tétel is:

Tétel: Két C¹ folytonosan csatlakozó görbeszegmens akkor és csak akkor csatlakozik G² folytonosan, ha a második derivált vektorok különbsége párhuzamos a közös érintővektorral, azaz .

Nyilvánvaló, hogy k.-rendű geometriai folytonosságból nem következik a k.-rendű matematikai folytonosság, azaz , hiszen például első rendben csak azt írtuk elő, hogy az érintők egy irányba mutatnak és nem azt, hogy egyenlők.

Fordítva sem igaz az, hogy a k. deriváltak folytonosságából következik a k. rendű geometriai folytonosság, azaz . Ennek belátásához vizsgáljunk meg egy egyszerű kétdimenziós példát! Legyen két görbénk! Az egyik a (3.8)-nak megfelelő

a másik (3.9)-nek felel meg.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a csatlakozó függvények a t=0 időpontban folytonosan differenciálhatók (C¹), azonban a (3.6. ábra - Nem G¹ görbecsatlakozás) ábrán jól láthatóan geometriailag nem folytonosak.

3.6. ábra - Nem G¹ görbecsatlakozás

Legyen adva a térben egy szakasz két végpontjával! Ekkor a szakasz belső pontjai felírhatók mint a két végpont súlyozott közepe a paramétertől függő, változó súlyokkal a (3.10) szerint. A változó súlyok biztosítják azt, hogy t=0 időpont az egyenes szakasz P₀ pontját, a t=1 időpont az egyenes szakasz P₁ pontját, a köztes t értékek pedig a szakasz belső pontjait azonosítják (3.7. ábra - Az egyenes szakasz és adatai).

3.7. ábra - Az egyenes szakasz és adatai

Ilyenkor a pontkoordinátákat szorzó függvényeket súlyfüggvényeknek hívjuk (3.11).

Érdemes a súlyfüggvények azon tulajdonságát megfigyelni, hogy az s₀(0)=1 és s₀(1)=0, valamint az s₁(0)=0 és s₁(1)=1. (3.8. ábra - Az egyenes szakasz súlyfüggvényei)

3.8. ábra - Az egyenes szakasz súlyfüggvényei

A (3.10) egyenlet átírása

ugyanez koordinátánként

amit átírhatunk mátrixos alakra

azaz

Definició: A pontok koordinátáit tartalmazó mátrixot (3.16) a geometriát jellemző mátrixnak hívjuk

Definició: A t paraméter hatványait (jelen esetben csak 0 és 1) tartalmazó T vektort paramétervektornak hívjuk (3.17)

Definició: A súlyfüggvények együtthatóiból adódó mátrixot a közelítés bázismátrixának hívjuk (3.18).

A (3.15) egyenlet mátrixos formája tehát

Egy térgörbét legegyszerűbben törtvonalakkal ábrázolhatunk. Ha adott r₀, r₁, …r_m térbeli ponthalmazunk, akkor választhatunk úgy paraméterpontokat, hogy a t_i+1-t_i=1 legyen, és ekkor a t=t-t_i paraméterezéssel bármely két pont között (3.11) súlyfüggvényeivel felírhatjuk a pontokat összekötő törtvonalakat.

Legyen adott két pont a térben, és mindkét pontban egy-egy vektor (3.9. ábra - Hermite-féle görbeszakasz)! Keressük azt a görbét, amelyik kezdőpontja az egyik pont (P₁), végpontja a másik (P₄), míg kezdőérintője (R₁) és végérintője (R₄)!

3.9. ábra - Hermite-féle görbeszakasz

Ez az előírás koordinátánként négy adatot, négy egyenletet és ezzel egy harmadfokú görbét határoz meg. A négy adat:

Ha az Hermite-féle görbeszakaszt (3.19) formában szeretnénk felírni, akkor ismerjük a geometriát leíró (3X4 méretű, a pontok és a vektorok által meghatározott) mátrixot és a (4x1 méretű) paramétervektort, a 4x4 méretű bázismátrix azonban ismeretlen.

A bázismátrix elemeinek meghatározásához elegendő a (3.21) egyenletekből csak az koordinátákra megfogalmaznunk.

Írjuk át (3.22) négy egyenletét egyetlen mátrixegyenletté!

Azt látjuk, hogy bármely peremhelyzetet megvalósító vektor megszorozva egy mátrixszorzattal önmagát adja. Ez azt jelenti, hogy

ahol az egységmátrix. Így

Ha kiszámítjuk az inverzet, akkor azt kapjuk, hogy

azaz

Az Hermite-féle szakasz tehát:

3.10. ábra - Az Hermite-féle súlyfüggvények

Az Hermite súlyfüggvények viselkedése hasonló a lineáris szakasz súlyfüggvényeihez. Az s_P1(0)=1 és az s_P1(1)=0, az s_P4(0)=0 és s_P4(1)=1. Hasonlóan a deriváltak súlyfüggvényeire igaz, hogy és , valamint és (3.10. ábra - Az Hermite-féle súlyfüggvények).

A harmadfokú Bezier-görbét a síkban négy pont határozza meg. A kezdőpont az első pont, a végső pont pedig a negyedik. A kezdő érintőt az első és második pont határozza meg, a záró érintőt a harmadik és a negyedik pont definiálja, méghozzá úgy, hogy a pontok közti vektor éppen az érintő (derivált) háromszorosa (3.11. ábra - A harmadrendű Bezier-görbe).

3.11. ábra - A harmadrendű Bezier-görbe

Gondoljunk vissza az Hermite-görbére, amely használta a két végpontot (P₁ és P₄), valamint a két érintőt (R₁ és R₄). Határozzuk meg a Hermite-féle érintőket úgy, hogy

legyen! Ekkor a fenti (3.29) egyenlet felírhatjuk az alábbi formában is:

azaz

ezért a (3.31) egyenlet jobb oldalán a mátrixot – ami áttér az Hermite tartópontokról a Bezier tartópontokra – nevezzük -nek! A (3.19) egyenlet jelöléseivel az Hermite görbére

Ezt viszont átírva (3.31) alapján

azaz

(3.33) és (3.34) egyenletek összevetéséből és a megfelelő mátrixok behelyettesítésével (3.26) és (3.31) egyenletekből

A Bezier-görbe súlyfüggvényei tehát

amelyek éppen a

binom kifejezés egyszerűsítés nélküli hatványozásából adódó tagok. Vegyük észre azonban, hogy a (3.37) egyenletben szereplő binom azonosan 1, azaz a súlyfüggvények összege 1!

A Bezier-görbe tehát mindenhol a P_i pontok által kifeszített térbeli (!) négyszögön belül halad, mint ahogyan azt a (3.11) ábra síkbeli esete is mutatja.

Ha a binom modellt tekintjük, akkor a Bezier-görbe a lineáris szakasz általánosítása ((1-t)+t) binom tagjai a súlyfüggvények. Ha harmadfok fölé megyünk, akkor azt mondhatjuk, hogy az

kifejtés tagjait tekintjük, amelyek a binom kifejtési szabályai szerint

Tehát az n-ed fokú Bezier-görbe súlyfüggvényei éppen az n-ed fokú Bernstein-polinomok [3.3.]. Természetesen a magasabb-fokú Bezier-szakaszt több tartóponttal jellemezhetjük.Az eddigiekben kizárólag egyszerű görbeszakaszokat vizsgáltunk. Kérdés, mit tegyünk, ha több ponton keresztül szeretnénk görbét fektetni?

A spline-on polinom görbékből összeállított térgörbe. Térbeli pontok sorozatára fektetett egyenes szakaszok elsőfokú spline-t definiálnak. Az n-edfokú spline-ban legfeljebb n-edfokú polinomszakaszok csatlakoznak egymáshoz úgy, hogy rendszerint nemcsak a folytonosságot, hanem az n-1-szeri differenciálhatóságot is megköveteljük.

3.12. ábra - Spline görbe

A magasabb fokú spline-ok közül a legelterjedtebb a harmadfokú természetes spline, hogy miért arra később fény derül. Térbeli pontokon áthaladó térgörbére (3.12. ábra - Spline görbe) koordinátánként fektethetünk spline görbét. Legyen adott a 3.12. ábra - Spline görbe szerint m darab térbeli pont! Keressük azokat a függvényeket (k=1…m), melyek olyanok, hogy a függvény a P_k-1 és P_k pontok között halad, és a görbe belső pontjaiban kétszer folytonosan differenciálható módon csatlakoznak egymáshoz.

Csak az x-koordinátára írjuk fel a közelítést, természetesen hasonlóan felírható y- és z-koordinátákra is. Adottak tehát a

pontok, ahol , és . Keressük azokat a

függvényeket, melyek teljesítik az alábbi interpolációs feltételeket

és

Azaz az összes görbe átmegy az őt megelőző indexű ponton, és az utolsó görbe az utolsó pontba fut. Illesztési feltételként megfogalmazható, hogy

Azaz a belső pontokban a görbeszakaszok folytonosan csatlakoznak egymáshoz. Ugyanezen pontokban előírhatjuk a t szerinti deriváltak folytonosságát is,

illetve a t szerinti második deriváltak folytonosan csatlakoznak egymáshoz.

(3.43)-(3.47) egyenletek száma m+1+3_*(m-1), amiből az m darab görbe 4_*m ismeretlen paraméterét szeretnénk meghatározni, ezért két további peremegyenletet is hozzáveszünk egyenleteinkhez.

azaz a görbe a két szélen 0 görbülettel távozik.

A görbe meghatározásának első lépéseként nevezzük g_k ismeretlen változónak a görbületeket az illesztési pontokban!

és

Mivel harmadfokú görbéket keresünk, ezek második deriváltja lineáris

Ezeket kétszer integrálva, és az integrálási állandókat az illesztési feltételekből az alábbi ún. Clapeyron-egyenlet adódik [3.4.].

Ugyanezt a Clapeyron-egyenletrendszert ismerjük a mechanikából a koncentrált erőkkel terhelt többtámaszú tartók esetéből. Igazából nem meglepő az azonosság, hiszen a koncentrált erőkkel terhelt többtámaszú tartó nyomatéki ábrája szakaszonként lineáris (mint a görbület a spline-oknál). És erre megoldva a rugalmas szál differenciálegyenletét

ugyanazt a kétszeri integrálást kell végrehajtanunk, mint a spline-ok esetén. Egyébként a spline szó is innen származik a rugalmas acélszál görbevonalzót használták az angolok a hajótervezésben, és ennek a neve volt a spline.

Érdekes az alábbi Holliday nevéhez köthető tétel [3.4.].

Tétel: Legyen az adott [t₀, t_m] intervallumon t_i i=0…m nem egybeeső monoton növő pontsorozat értelmezve! Az összes a kérdéses intervallumon kétszer folytonosan differenciálható, és a peremeken az peremfeltételt kielégítő pontok közül a pontokon átmenő harmadfokú spline függvény esetén minimális az

integrál.

A (3.55) integrál a második t-derivált négyzetét, a görbület négyzetével rokon adatot integrál. Azt mondhatjuk tehát, hogy az összes ilyen, a pontokon átmenő, a feltételeket teljesítő függvény közül a természetes spline „tekereg” a legkevésbé [3.5.].

Az a probléma a természetes spline-nal, hogy meg kell oldanunk egy a tartópontok számánál kettővel kisebb ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert (3.53), ami akkor is időigényes, ha az együtthatómátrix ritka. Tetézi a bajt, hogy a spline sajátossága az is, ha bármelyik tartópont elmozdul, akkor a teljes görbe megváltozik, azaz az így megadott görbe csak lokálisan nem módosítható. Kérdés, mit kell egyszerűsítenünk az interpolációs közelítésen ahhoz, hogy lokálisan módosítható, kis számításigényű görbét kapjunk.

Ha pontok sorozatára úgy fektetünk interpolációs görbét, hogy a görbe átmegy a pontokon, és minden pontban a görbe érintője arányos a két szomszédos pont által meghatározott vektorral, akkor ezt a görbét kardinális spline-nak nevezzük. Ha a görbe idő szerinti paraméteres leírását tekintjük, akkor azt mondhatjuk, hogy a t_k. időpontban a görbe éppen a P_k ponton halad keresztül (3.13. ábra - A kardinális spline). A görbe érintője a t_k. időpontban V_k, akkor az érintőt a (3.56) egyenlet határozza meg.

ahol f(<1) a görbe feszítése. Ha f=0, akkor az éppen a Catmull-Rom spline [3.6.].

3.13. ábra - A kardinális spline

Ha a kardinális spline súlyfüggvényeit szeretnénk kiszámítani, ugyanúgy kell eljárnunk el, mint ahogy a Bezier-súlyfüggvények meghatározásánál tettük. Legyenek a P_i és a P_i+1 pontok körötti görbeszakasz Hermite geometriai adatai a P₁, P₄, R₁ és R₄ vektorok (az ábrán pirossal), melyek a (3.57) alapján megadhatók, mint P_i-1, P_i, P_i+1 és P_i+2 pontok függvényei

A (3.57) egyenletben látható mátrix éppen az Hermite-görbéről a kardinális görbére áttérő transzformáció.

Elvégezve a kijelölt mátrixszorzást

A kardinális spline paraméteres leírását a (3.60) egyenletek tartalmazzák.

Szokás a szélen az egyoldalas differeciával számítani az érintőt, és ilyenkor a görbe minden ponton átmegy. A kardinális spline-ok használatának előnye az, hogy nincs szükség egyenletrendszer megoldására, a görbe minden ponton átmegy. Hátránya az, hogy csak egyszer deriválhatók folytonosan.

Amennyiben ragaszkodunk a kétszer folytonosan differenciálható spline görbékhez, akkor azt a megkötést kell feladnunk, amely megköveteli, hogy a görbe menjen át a tartópontokon. Definiáljuk először a B-spline fogalmát! Adott fokszámú, adott simaságú, egymáshoz kapcsolódó spline görbeszakaszok egyértelműen leírhatók B-spline függvények lineáris kombinációjaként. Ez azt jelenti, hogy a B-spline-ok a spline függvények bázisaként fogható fel.

Definíció: Legyen adott m+1 darab időpont nem csökkenő sorozata!

n. fokú B-spline bázisfüggvényeknek nevezzük azt az m-n darab görbét, melyek az alábbi Cox-de Boor rekurzióval definiálhatók:

Mivel az időpontok között megengedtük az egyenlőséget, ezért előfordulhat, hogy a kijelölt művelet nem értelmezhető. Ezért kikötjük, hogy a 0/0 osztás 0-t ad eredményül.

Definíció: Legyenek adottak a P₀, P₁, … P_m pontok a térben és m+1 darab paraméterérték . A tartópontok által meghatározott, [t₀,t_m] paramétertartományon értelmezett n. fokú B-spline görbének nevezzük a (3.62) bázisfüggvényeivel definiált

görbét.

A B-spline definíciója alapján az adott tartópontok közül n+1 határoz meg egy n.-ed fokú B-spline görbeszakaszt. A Q_i görbeszakaszok előállíthatók, mint a b_j,n Cox de Boor rekurzióval meghatározott bázis B-spline-ok – mint súlyfüggvények – lineáris kombinációjával.

Szokás még a B-Spline görbéket azért is előnyben részesíteni, mert invariánasak az affin transzformációra. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy ha a van egy B-spline-okkal közelített térgörbém, és azt leképezem egy síkra, akkor nem szükséges a görbe „összes” pontját síkba vetíteni, hanem elegendő csak a tartópontokat vetíteni és a síkban meghatározni a görbét [3.7.].

A B-spline görbék általános vizsgálata helyett tekintsük a harmadfokú görbék esetét!

3.3.8.1. Harmadfokú B-Spline görbék

A 3.3.6. szakasz - Természetes spline fejezetben láttuk, hogy a harmadfokú görbék kiemelt fontossággal bírnak.

3.3.8.1.1. A harmadfokú bázisgörbék jellege

Vizsgáljuk meg először az általánosan elterjedt harmadfokú B-spline-okat! A (3.14. ábra - A B-spline súlyfüggvények) ábrán világoskékkel a b_j,1 tag, sötétkékkel a b_j,2 tag, zölddel a b_j,3 és végül pirossal a b_j,4 tag(ok) láthatók.

3.14. ábra - A B-spline súlyfüggvények

Ha egyenközű B-spline görbéket használunk, a bázisfüggvények is egyszerűsödnek. Legyen t₀=-3, t₁=-2, t₂=-1 és t₃=0 és t₄=1! Ekkor a bázisfüggvények könnyen számíthatók:

(3.65)

3.3.8.1.2. Közelítés harmadfokú B-spline görbével

A B-spline (3.66) képlete szerint a harmadfokú Q_i görbeszakaszok előállíthatók, a b_j,3 Cox de Boor rekurzióval meghatározott bázis B-spline-ok – mint súlyfüggvények – lineáris kombinációjával.

(3.66)

Ha (3.66) képletet n=3 értékre (harmadfokú B-Spline-okra) alkalmazzuk, és használjuk a t=t-t_i helyettesítést, akkor a súlyfüggvények egy szakaszon olyanok lesznek, mint amit a 3.14. ábra - A B-spline súlyfüggvények [t₃,t₄] szakaszán láthatunk, illetve ha kiszámítjuk a súlyfüggvényeket, akkor a

(3.67)

kifejezéshez jutunk, azaz írhatjuk, hogy

(3.68)

ahol

(3.69)

és

(3.70)

Ha kiszámítjuk a (3.67) súlyfüggvények összegét, akkor

(3.71)

ugyanúgy, mint a Bezier splineoknál. Ez azt jelenti, hogy a B-Spline szakasz is benne halad a tartópontok által meghatározott térbeli négyszögben (3.15. ábra - A B-spline szakaszok a befoglaló téglalapban).

3.15. ábra - A B-spline szakaszok a befoglaló téglalapban

Vizsgáljuk meg a harmadfokú B-spline folytonossági viszonyait! Az i. ponthoz tartozó görbe

(3.72)

alakban írható. Ebből csak az x-koordinátákra felírva a csatlakozó görbék adatait (y, és z ugyanígy alakul):

(3.73)

tehát a görbe folytonos. Hasonlóan a deriváltakra azt kapjuk, hogy

(3.74)

tehát a görbe folytonosan differenciálható. A második deriváltak is egyenlők lesznek

(3.75)

A B-spline görbéket tehát tartópontjaikkal irányíthatjuk és a görbe kétszer folytonosan differenciálható módon követi a pontok helyzetét, de nem megy át rajtuk. Kérdés, hogy mi történik akkor, amikor két szomszédos pont egybeesik. A (3.71) egyenlet szerint a súlyfüggvények összege azonosan egy, tehát a görbeszakasz benne halad a befoglaló négyszögben (3.16. ábra - Elfajuló B-spline szakaszok ábra bal oldala). Ha két szomszédos tartópont egybeesik, akkor a befoglaló négyszög háromszöggé torzul. A görbe benne halad a háromszögben, és a két egybeeső pont nagyobb „súlyával” közelebb „húzza” magához a görbét (3.16. ábra - Elfajuló B-spline szakaszok középső ábra). Végül, ha a három szomszédos pont esik egybe, akkor a befoglaló négyszögek egyenes szakaszokká torzulnak, és a B-spline is két csatlakozó egyenes szakasszá torzul (3.16. ábra - Elfajuló B-spline szakaszok ábra jobb oldala).

3.16. ábra - Elfajuló B-spline szakaszok

Ha (3.67) alapján felírjuk az egyenes szakaszokra torzult első B-spline-t, akkor adódik, hogy

(3.76)

Ami valóban egy egyenes paraméteres egyenlete, azonban (3.10)-zel ellentétben a paraméterfüggvények nem lineárisak. Ez is egy példa arra, hogy a kétszer folytonosan differenciálható függvény geometriailag nem folytonos.