13. fejezet - Szervopneumatikus rendszer szakaszának modellje

Elsőként írjuk fel a mozgásegyenletet a dugattyúra, mely az erők egyensúlyi egyenletének felírásával történik. A felíráshoz valamely irány pozitív előjelű kijelölése szükséges, azaz példának okáért a jobbra haladó mozgásirány legyen pozitív előjellel jelölve. Ez akkor teljesül, ha az „a” oldali kamranyomás a „b” oldali kamranyomásnál legalább annyival nagyobb erőt fejt ki a dugattyúra amekkora a súrlódás leküzdéséhez szükséges. Az ezen felüli erőkülönbség a dugattyú –és a mozgatott tömeg- gyorsítására fordítódik.

A dugattyú a illetve b oldalán levő nyomásból származó dugattyúra ható erő F_a és F_b:

a dugattyú sűrített levegővel érintkező felülete az a illetve b kamrarészben, p_a, és p_b a kamrákban uralkodó nyomás.

A rendszer dinamikus viselkedését a súrlódás, különösen a közeg –sűrített levegő- összenyomhatósága miatt, nagymértékben befolyásolja. A súrlódás leírására az egyszerűbb esetekben a kvázi statikus súrlódási modellek alkalmazhatóak, amikor is a mozgás iránya gyakran változik, a dugattyú mozgásának sebessége pedig nem túl nagy. A modellek közül az egyik legegyszerűbb a Coulomb súrlódás, mely két szilárd test között lép fel és egy konstans nagyságú, a mozgás irányával ellentétes irányba ható erővel írható le. Fontos megjegyezni, hogy míg a mechanikai rendszerek nagy részében a Coulomb súrlódás a felületek közötti normálerő és a köztük jelentkező súrlódási együtthatóból az összefüggéssel felírható, addig a pneumatikus rendszereknél a súrlódást jelentős részben a dugattyú tömítésének hengercsőbe feszülése okozza, mely az összeszerelés pillanatától jellemzi a munkahengert. Ez ahhoz vezet, hogy a súrlódás Coulomb összetevője (F_C) az imént említett összefüggéssel nem számítható. A súrlódás leírását tovább nehezíti, hogy a legtöbb munkahengerben ajakos tömítés található, melyeknél - a tömítés alakja miatt- a kamrában uralkodó nyomás az ajakos részt a hengercsőnek feszíti, így egy nyomástól is függő súrlódási erőt okoz. Ha utóbbitól eltekintünk a Coulomb súrlódás összefüggése:

A jelenség egy másik megközelítése a viszkózus súrlódás, mely főként a folyadékokra jellemző, az anyag belső súrlódását írja le. A viszkózus súrlódási erő egyenesen arányos a mozgás sebességével, iránya azzal ellentétes:

ahol b a folyadékra jellemző csillapítási tényező.

Az említett két súrlódási modell eredője még mindig nem ad pontos közelítést a nulla körüli sebességek esetében, arra jó közelítéssel a Stribeck-féle modell alkalmazható, melyet a következő egyenlet ír le:

ahol Fstat a tapadási súrlódási, vagy álló helyzetben fellépő maximális súrlódási erő. az a kritikus sebesség, mely alatt az akadó csúszás jelensége figyelhető meg. Ezt legegyszerűbben úgy képzelhetjük el, mintha egy rugó segítségével mozgatnánk a testet: ha elkezdjük húzni a rugót állandó sebességgel, a test nem mozdul, amíg a rugón keresztül átadódó erő el nem éri az F_stat-ot, eközben a rugó nyúlik. Amikor átlépjük a maximális súrlódási erőt, akkor mivel a csúszási súrlódási együttható kisebb, mint a tapadási, nagyobb sebességgel indul el a test, mint amivel a rugót húzzuk, így elkezdi behozni lemaradását, kvázi utoléri azt. A rugó megnyúlása, ezáltal a rugón keresztül átadódó erő csökken, aminek következtében a test újra megáll, és a jelenség kezdődik elölről. Ezt a jelenséget hívják akadozó-csúszási súrlódásnak (stick-slip). Az akadozó csúszás kevésbé érvényesül, ha nagyobb sebességgel mozgatjuk a testet, illetve egy kritikus sebesség () felett a hatása elhanyagolható. Ezt a tendenciát írja le a fenti Stribeck-féle modell. A határsebességet az alábbi képlet írja le:

Ahol k a mozgatott rendszer rugóállandója, m a tömege. F_N a felületeket összeszorító normál erő, mely egy állandónak tekinthető a dugattyúhoz csatolt rendszer tömegét és az összeszerelés szorító erejét  leíró erőből, és egy változó, a munkahenger kamrájában lévő nyomástól (mely a dugattyún lévő tömítőgyűrűt a kamra oldalához szorítja), a kamrában lévő hőmérséklettől, és emiatt (a dugattyú sokáig egy helyben áll akkor letapad) időtől függő erőből áll.

A munkahengert, két változó térfogatú kamraként modellezzük. A modellezés szempontjából a kamrák nyomásának az idő függvényében leírt változása lényeges. A folyamatok végiggondolásával belátható, hogy egy kamrában a nyomás változását az alábbi módokon következhet be:

A fejezetrészben az említett folyamatok részletes leírására kerül sor.

A nemlineáris modellel kapcsolatban az alábbi kikötéseket, egyszerűsítéseket tesszük meg:

A gáz állapotváltozóinak meghatározásához, alábbi egyenleteket használjuk fel. Mivel a leírás a szakirodalomban több helyen részletes bemutatásra kerül, itt csak az egyenletek rövid magyarázattal kerülnek bemutatásra:

A kamrában lévő levegő nyomásviszonyait, a nyomást leíró függvény változásának vizsgálatával érthetjük meg:

Az egyes tagok vizsgálatára a következő fejezetrészben kerül sor.

A munkahenger modelljének leírásához meg kell határoznunk az egyes kamrákba be, illetve kiáramló levegő tömegáramát, mely a szelep viselkedése leírásához döntő fontosságú. A rendszer viselkedésére tett kikötések a kamrák nyomásviszonyait vizsgáló fejezetben leírtakkal azonosak. A felíráshoz a továbbiakban felhasználjuk:

A tömegáram meghatározásához először a Bernoulli egyenletet (13.33) az áramvonal mentén a kamrából kiáramló gázra kell felírni, feltételezve, hogy a kamrában lévő gáz kvázistatikus állapotban van, így annak sebessége zérus.

Az 1-es indexszel a kamrában lévő állapotokat, 2-es indexszel a kiáramló gáz állapotváltozóit jelöljük. Az állapotegyenletből (13.9) kifejezve p-t, behelyettesítve az adiabatikus állapotváltozásra vonatkozó egyenletbe (13.34), megkapjuk a sűrűség változását a nyomás függvényében:

ahol p₀ a légköri nyomás, illetve ρ₀ a légköri nyomáson a levegő sűrűsége. (13.36)–t behelyettesítve (13.35)-be, majd elvégezve az integrálást:

A behelyettesítéseket elvégezve, egyszerűsítve, kifejezve v-t megkapjuk a kamrából kiáramló gáz átlagsebességét:

Feltételezve, hogy a kiáramló gáz sűrűsége a kiáramlási pontnál időben állandó (stacionárius az áramlás), a tömegáram számítására az alábbi (13.40) összefüggést használhatjuk, valamint, hogy a térfogatáram kiszámítására (13.39) összefüggés érvényes:

A sűrűségváltozásra vonatkozóan (13.36)–t behelyettesítve a kifejezést alakítsuk át az alábbi formára:

Az összefüggést megvizsgálva a szakirodalom a (13.42) összefüggés első gyökjel alatti részét tömegáram paraméternek nevezi, melyet a továbbiakban Ψ-vel jelöljük

Ψ –t p₂/p₁ nyomásviszony függvényében ábrázolva, ahol p₂ a kilépő oldali illetve p₁ a belépő oldali nyomásértéket jelöli.:

Amint azt láthatjuk, a függvénynek maximuma van. A szélsőérték meghatározásához írjuk fel a függvény deriváltját, majd az alábbi egyenletet megoldva:

Az egyenletnek csak a középső tényezője lehet zérus, melyből:

Tehát a kritikus nyomásviszony, ideális kétatomos gáz (κ=1.4) esetén

A kritikus nyomás kialakulásának megértéséhez vizsgáljuk meg a kiáramló gáz sebességét a kritikus nyomásnál, (13.38)-ba behelyettesítve a (13.9) gáztörvényt:

A kilépő gáz hőmérsékletét megkapjuk, ha az adiabatikus állapotváltozásra vonatkozó (13.34) összefüggésbe behelyettesítjük a kritikus nyomás (13.46) értékét.

Ezt (13.48) behelyettesítve a sebességképletbe (13.47) azt kapjuk, hogy a kiáramlási sebesség megegyezik a gázban a hang adott hőmérsékletre vonatkozó terjedési sebességével.

Ahogy elkezdjük növelni a nyomást a tartályban (vagy a külső nyomást csökkenteni), a nyomáskülönbség által áramlás alakul ki, melynek sebessége a nyomásviszonyoktól függ. A kritikus nyomásviszonyt elérve azt tapasztaljuk, hogy a kiáramlási sebesség és a kilépő gáz állapotváltozói nem változnak. Ezt azzal magyarázhatjuk, hogy a gázokban a nyomásváltozás nyomáshullámként jön létre, mely nyomáshullám terjedési sebessége éppen a hangsebességgel egyenlő, így ha a kilépő gáz sebessége eléri a hangsebességet, a nyomásváltozás nem képes átlépni a kiáramlási keresztmetszetet, a nyomásviszony változása tehát nem tudja módosítani a nyomásmegoszlást a kamra és a kilépési pont között.

Tehát a kritikus nyomásviszony fölött az a tömegáram paraméter állandó marad. A számítások egyszerűsítése végett a paramétert a különböző szakirodalmakban alkalmazott alábbi közelítő függvénnyel közelítjük:

A tömegáram alakulása a munkahenger kamráinál:

A sűrűségtől való függés, a gáztörvény (13.9) felhasználásával megszüntethető:

A tömegáramok számításánál a veszteségek (súrlódás, hő) és az áramlási keresztmetszet geometriai sajátosságai következtében korrekciós együtthatót kell alkalmazzunk, mely α átömlési tényezővel kerül számításra. Ez a korrekciós együttható empirikus módon, az alábbi összefüggés érvényességét szem előtt tartva kerül meghatározásra, melyre a szakirodalomban [13.5.] találunk mérési eljárást, becsült értékeket

Az alkalmazások jelentős részében egy szervoszelep a tolattyú fordítása, vagy lineáris mozdítása révén szabályozza a munkahenger kamráiba beáramló, illetve az onnan kiáramló tömegáramokat. A szelep a bemenő feszültség alapján változtatja a tolattyú szöghelyzetét vagy pozícióját, mely a szelep átömlési keresztmetszetére van hatással. A tömegáramokat az átömlési keresztmetszetek változása, és a szelep egyes kamráiban uralkodó nyomások befolyásolják. A szelep modelljét az alábbi ábra segítségével érthetjük meg jobban.

A szelep alsó középső csatlakozójához kötjük a tápnyomást (továbbiakban p_táp, a másik két alsó csatlakozó a leszellőzést biztosítja. A rendszerből távozó levegő nyomását p₀-val jelöljük.

A munkahenger levegőellátását a szelep a tápnyomáson keresztül a felső csatlakozókon biztosítja. Az ábrának megfelelően mind a két kamra esetében a kamrát töltő tömegáram ( és ) pozitív. Ugyan fizikai értelemben az ábrán látható szelepkonstrukció esetében ez, hogy egyszerre töltsük mindkét kamrát, nem lehetséges, azonban a tolattyú elmozdulásának megfelelő nyitási keresztmetszetek miatt tömegáramok értékei az egyik kamra tömegáramra negatív előjelet eredményeznek, melyet az alábbi összefüggések írnak le:

A tömegáramok számítása az előző fejezetrészben tárgyalt módon a tartályból való kiáramlás képletével történik. Miszerint:

A szelep tolattyúja másodrendű csillapított rendszerként működik, ahol a rendszer energiatárolóit a tolattyú tehetetlensége, valamint a súrlódásból és kamranyomás ellenállásából adódó csillapítás alkotja.

Matematikailag az alábbi differenciálegyenlettel írható fel, ahol x_sz a tolattyú elmozdulása, a F_sz szelep tekercse által a tolattyúra kifejtett erő, mely a szervo-szelepet szabályozó feszültségtől u függ:

ahol ω a rendszer körfrekvenciája ξ a csillapítás foka.

A _szi szelep geometriai kialakításától függően feltételezzük, hogy a szelep csatlakozójának átömlési keresztmetszete közelítően egyenesen arányos a tolattyú elmozdulásával x_sz.