16. fejezet - Golyósorsós pozícionáló szabályozásának tervezése és szimulációja

A vázlat nem géprajzi, hanem a működést szemlélteti. Ugyanakkor érdekes konstrukciós probléma a vezetékek rögzítése a keretben, és a tengely csapágyazása. Erről a 11. fejezet fejezet elején találunk rövid ismertetést. A rendszer működését ábrázoló „műszaki vázlat” alapján elkészíthetjük a struktúragráfot.

Az ábrán (és a további modellekben) szereplő fizikai mennyiségek:

Ugyan már a vázlatban is alkalmaztunk elhanyagolásokat (például a tengelykapcsolóban fellépő veszteséget elhanyagoljuk, B_t → 0), de modellünk még mindig igen összetett. Az energiatárolók száma: egy villamos (L), összevonással két torziós rugalmas (K), négy torziós tehetetlenség (J), valamint egy transzlációs mechanikai (m). Összesen nyolc energiatárolót számolhatunk össze, sőt ha külön részmodellként kezeljük a rugalmasságokat, még magasabb rendű rendszermodellt kapunk. Eddigi – legalább részrendszerenként értelmezhető – domináns póluspárokra vonatkozó ismereteinket és tapasztalatainkat megerősítik a konkrét katalógusadatok (fizikai mennyiségek) helyettesítésével számított matematikai modellek.

Az összevonható mennyiségek és az egyes részegységek sajátságai figyelembe vételével egyszerűsíthetjük a gráfot és két részrendszerre bonthatjuk.

Az alábbi konstrukciós adottságokból indulunk ki:

A fenti ábrán a bal oldali részrendszer a motort és a hajtómű hajtott oldalát tartalmazza, a második részrendszer tartalmazza a hajtott részrendszert.

A két részrendszer matematikai modelljét célszerű az átviteli függvényt eredményező hálózati (más néven impedancia) módszerrel, esetleg csomóponti vagy hurokmódszerrel előállítani, hiszen a sorba kapcsolt részrendszerek eredő átviteli függvénye az összetevők átviteli függvényének szorzata.

Az átviteli függvényes felírás miatt az időfüggvényként adott jeleket Laplace-operátoros tartományba transzformáljuk. Ha a csomóponti módszert (vagy a hurokmódszert) választjuk, szintén transzformálnunk kell a jeleket, sőt a modell jellegétől függően integráljukat és deriváltjukat. (A második részrendszer modelljét csomóponti módszerrel állítjuk elő.)

A matematikai modell előállításához és a szabályozó tervezéséhez konkrét komponensek kiválasztása és a szükséges paraméterek behelyettesítése után kapott átviteli függvényt használunk.

A GNU GPL licenc által szabályozott hozzáférésű Maxima (http://maxima.sourceforge.net/) számítógépes algebra rendszerrel számoljuk a katalógusadatok alapján az átviteli függvény együtthatóit. A Maxima rendszer hivatalos dokumentációja [16.4.] mellett az interneten igen sok oktatóanyag és mintapélda található. A COMA (COntrol engineering with MAxima) szabályozástechnikai számításokat megkönnyítő kiegészítő [16.5.] angol és német leírása mellett mintapéldákat is letölthetünk.

Az átviteli függvény együtthatóinak meghatározása wxMaxima programmal:

A National Instruments cég LabVIEW (Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench) szoftvercsomagja (http://www.ni.com/labview/) 2009-es verziójában, a Control Design and Simulation Module (http://www.ni.com/labview/cd-sim/) elemkészletével készült az átviteli függvény szimbolikus leképezése. A LabVIEW és a kiegészítő használatában a [16.1.], [16.2.], [16.3.] hivatalos források mellett szintén találhatunk interneten hozzáférhető segédanyagokat és mintapéldákat.

Az áttekinthetőség érdekében a G₁(s), G_i(s) átviteli függvények soros eredőjéhez szükséges számláló és nevező együttható képletek külön szerepelnek a hajtott részrendszer G₂(s) átviteli függvény előállításához szükséges összefüggésektől.

A két – szimbolikus átviteli függvényével adott – sorba kapcsolt rendszer eredőjét előállító programrészletet könnyen elkészíthetjük a Control Design & Simulation/Control Design/Model Interconnection/CD Series.vi használatával.

A sebesség-elmozdulás átalakításhoz szükséges integrálást 1/s átviteli függvényével, az előzőleg kapott átviteli függvénnyel szintén sorba kapcsolva vesszük figyelembe. A későbbiekben erre „szakasz integrálással” néven hivatkozunk.

Valamennyi szimuláció SI mértékegységekkel történt. A soron következő, „.vi” fájlokkal megjelenített diagramokon az alábbi SI prefixum jelöléseket látjuk:

        u: mikro;        n: nano;        m: mili

A későbbiek szempontjából fontos megjegyeznünk, hogy az integrátor nélküli szakaszban nincs konjugált komplex gyökpár, azaz a szakasz nem lengő jellegű.

A következő ábrán a „szakasz integrálással” frekvenciatartománybeli leképezései szerepelnek.

A szakasz dinamikai tulajdonságainak szemléletes ábrázolása miatt érdemes az integrálás nélkül is ábrázolni a jellegzetes idő- és frekvenciatartománybeli diagramokat. A sebesség-elmozdulás konverzió miatt szükséges integrálást a programunk előlapján lévő kapcsolóval vehetjük figyelembe. A megoldás az alábbi programrészleten látható, az előlapi logikai (Boolean adattípusú) kapcsoló neve „Integráló tag?”, az elágazás (Case struktúra) igaz (True) lapján a konstansként összeállított integráló tag és a G₁(s)·G_i(2) G₂(s) integráló nélküli szakasz soros eredője. A hamis (False) lapon az integráló hatást nem vesszük figyelembe, a G₁(s)·G_i(2) G₂(s) átviteli függvényt vezetjük tovább.

Az alábbi ábrákon az integráló hatás nélküli átviteli függvény és az idő- és frekvenciatartománybeli leképezései szerepelnek.

A szabályozó tervezéshez vizsgáljuk meg a szakasz hajtó részrendszerének egyetlen, valamint a hajtott részrendszer két pólusát (és a belőlük számítható időállandókat). Az átviteli függvényből (TF, Transfer Function) a zérus-pólus-erősítés (ZPK, Zero-Pole-Gain) matematikai modellt a Control Design & Simulation/Control Design/Model Conversion/CD Convert to Zero-Pole-Gain model.vi használatával kapjuk. A három időállandót egyszerűen számíthatjuk a pólusokból.

A pólusokból számított időállandóakkal megrajzolhatjuk a három, egységnyi erősítésűnek választott elsőrendű rendszer alább látható átmeneti függvényét.

A szabályozótervezéshez figyelembe vehető elhanyagolást az átmeneti függvények ábrázolása alapján is indokolhatjuk. Az alábbiakban a két „lassú” pólusú másodrendű rendszert hasonlítjuk össze a háromtárolós modellel és feltüntetjük a szabályozásba nem bevont „gyors” pólus dinamikáját, szintén átmeneti függvényen.

Az elhanyagoláshoz szükséges számításokat a wxMaxima munkafüzetben is elvégezzük és ebben ábrázoljuk az eredeti és az elhanyagolás utáni rendszer átmeneti függvényének különbségét.

A harmadrendű szakasz egyszerűsítése másodrendűvé és az elhanyagolás létjogosultsága wxMaxima programmal:

Az elhanyagolás indoklását alátámaszthatjuk a három elsőrendű rendszer Bode-diagramjával is. Az alábbi diagramokon látszik, hogy a két „lassú” pólus („G1 pólusa” és „G2 egyik pólusa”) között nincs jelentős eltérés (az időállandók viszonya durván 4,3). A „gyors” pólusnak („G2 másik pólusa”) megfelelő töréspont viszont hozzávetőleg egy dekáddal jobbra esik az előzőektől.

E megfontolás alapján a szakaszt a G₁(s) hajtó rész, a G_i(s) hajtómű és a G₂(s) hajtott rész domináns időállandót tartalmazó elsőrendűvé? (csak a gyors pólust hagytuk el, tehát másodrendű lett a szakasz) egyszerűsített modelljével közelítjük.

Először szabályozó nélkül (tulajdonképpen egységnyi átviteli tényezőjű P-szabályozóval), a szabályozási kör visszacsatoló ágában szintén egységnyi átviteli tulajdonságot feltételezve vizsgáljuk az egyszerűsített másodrendű rendszert.

A visszacsatoló ágban lévő egységnyi átvitel megfelelően közelíti az egyébként szabályozási körökben használatos érzékelő és jelátalakító dinamikai tulajdonságait.

A szabályozás minőségét a tartalékok (fázis- és erősítési tartalék), a zárt kör átmeneti függvénye, valamint a szakasz és a zárt pólusaival értékelhetjük.

A kapott eredményekből – főleg a zárt kör átmeneti függvényéből – látszik, hogy az egységnyi erősítésű P-szabályozóval

Az arányos szabályozó erősítését növelve a vágási körfrekvencia jobbra tolódik, a zárt kör gyorsul. 100-szoros erősítésű arányos szabályozót választva az eredmény az alábbi ábrán látható.

Az elméleti – pontosabban szimulációs – vizsgálódást folytatva, az arányos szabályozó erősítését 10000-re választva tovább gyorsíthatjuk a rendszert. Az alábbi ábrán látható, hogy a szakasz másodrendű részének dinamikáját még mindig nem tudtuk eléggé megközelíteni.

Próbálkozzunk az erősítés további növelésével! AZ előző érték 20-szorosát, vagyis 2000000-szoros erősítést választva még mindig nem értük el a szakasz gyorsaságát, viszont a rendszerünk lengő beállást mutat. Az erősítés további növelése fokozza a lengési hajlamot. A golyósorsós pozícionáló esetében lengéseket semmiképpen nem engedhetünk meg, így a legegyszerűbb arányos szabályozónál összetettebb struktúrára lesz szükségünk.

Válasszunk PD-jellegű töréspontáthelyező algoritmust (azaz párhuzamosan kapcsolt arányos és megvalósítható differenciáló tulajdonságú tagból álló szabályozót)!

A szabályozó (1+T_As) gyöktényezőjével „semlegesítjük” a szakasz kisebb  törésponti körfrekvenciájú (vagyis nagyobb időállandójú) elsőrendű komponensét. A T_B időállandó reciprokának megfelelő töréspontot és az A_c erősítést úgy választjuk meg, hogy a zárt kör továbbra is aperiodikusan követi az egységugrás alapjelet és gyorsasága legyen összemérhető a szakasz integrálás nélküli, másodrendűként közelített részével.

A PD-jellegű töréspontáthelyező további hangolásával (erősítés növelése, töréspont további jobbra mozgatása) elérhetjük a szabályozó lehetőségeinek határát. Ekkor célszerű olyan PID-jellegű struktúrát választani, amiben nincs soros integráló hatás, hiszen az a szakaszban már van. Így a szakasz másodrendűen közelített részében lévő pólusok áthelyezését biztosító szabályozó struktúrát választunk.

A választott PID-jellegű struktúra a kettős töréspontáthelyező algoritmus. A szakasz két töréspontját (pólusát) a szabályozó két (a T_A és T_C időállandónak megfelelő) zérusa kompenzálja, az előírt dinamikai tulajdonságokat biztosító felnyitott szabályozási körbeli gyököket pedig a szabályozó (T_B és T_D időállandónak megfelelő) zérusai adják. Az A_C erősítési tényezővel biztosíthatjuk, hogy a vágási körfrekvencia az előírt stabilitási és gyorsasági feltételeket biztosítsa. A szakaszban lévő integráló tulajdonság miatt az ugrásszerű alapjelet a szabályozás mindenképpen hiba nélkül követi.

A szakasz (egyszerűsített) átviteli függvény két elsőrendű és egy integráló tag soros eredőjeként felírva

A felnyitott kör átviteli függvénye a szabályozó G_c(s) és a szakasz G_s(s) átviteli függvényének soros eredője (szorzata)

Először vizsgáljuk meg a szakasz T₁ és T₂ időállandójának megfelelő pólust közömbösítő, nem megvalósítható szabályozó átviteli függvényt.

Ezzel a – hangsúlyozottan nem megvalósítható – szabályozóval a felnyitott kör integráló, a zárt kör egytárolós arányos jellegű. A zárt kör előírt dinamikáját biztosító – a vágási körfrekvencia reciprokaként értelmezhető – zárt kör időállandót a szabályozó megfelelő értékű erősítésével lehetne beállítani.

A szabályozó megvalósíthatóságához elengedhetetlen, hogy átviteli függvényében a számláló polinom fokszáma ne legyen alacsonyabb a nevező polinom fokszámánál. Ha az előző ábrákon látható módon a szabályozó zérusaival semlegesítjük a szakasz nullától különböző pólusait, a szabályozó pólusaival definiálhatjuk a felnyitott kör és természetesen ezen keresztül a kör zárt pólusait.

A szakasz integráló jellegét figyelembe véve úgy kell a pólusokat áthelyeznünk, hogy az előírt gyorsaságot biztosító vágási körfrekvenciától elegendően messze jobbra essenek a felnyitott kör töréspontjai a Bode-diagramon.

A szabályozó paramétereit folyamatosan változtatva és futtatva a szimulációs programot tovább tudjuk alakítani a zárt kör válaszát, hogy a célul kitűzött zárt rendszer dinamikai sajátságokat elérhessük.