13. fejezet - Hinf. szabályozók tervezése
Vissza		Előre

13. fejezet - Hinf. szabályozók tervezése

Tartalom

13.1. Véges horizontú FI feladat
13.2. Végtelen horizontú FI feladat
13.3. A OE feladat
13.4. Egyszerűsített kimenet visszacsatolásos feladat

Bár az egyszerüsített kimenet-visszacsatolásos optimális szabályozó kiszámítása jórészt az optimális szabályozó levezetésénél alkalmazott lépéseket követi, vannak lényegi tulajdonságok, amik megkülönböztetik a két esetet.

Egyrészt nyilvánvaló, hogy egy stabil lineáris rendszerre es egy adott esetén akkor es csak akkor, ha létezik amellyel

(594)

minden jelre. Ezt a feltételt átírhatjuk

(595)

alakba, ami azt sugallja, hogy lehetséges egy véges horizontú szabályozót definiálni, ami határesetben, ahogy a tart végtelenhez, megközelíti a szabályozót. Így, mint azt a esetben tettük, először célszerű a véges-horizontú FI feladatot megvizsgálni, ahol a költségfüggvény

(596)

alakú, ahol es .

Kimutatható, hogy ennek a feladatnak a megoldása egy szabályozó, ami egy olyan irányító bemenetet generál, amelyre létezik úgy, hogy

(597)

fennáljon minden esetén, vagyis . Határesetben azt várjuk, hogy

(598)

Azonban az optimális feladattal szemben az optimális irányítástervezésnek nem minig van megoldása, ha túl kicsi, a zavaró tag jelenléte miatt a költségfüggvényben. Tekinthetjük úgy, hogy az optimalizálási feladat megoldása egy olyan játszma kimenetele, amelyben a szabályozó célja egy, a költséget minimalizáló irányító bemenet tervezése, míg a környezet egy olyan zavarással hat ami maximalizálja ezt a költséget.

Tehát a költség függvénye -nak és -nek. Ha a zavarási stratégia adott akkor egy konvex függvény aminek globális minimuma az irányításra vétetik fel, amit az optimális szabályozó general. Ha az irányítás fix és a környezeti hatás változik akkor a egy konkáv funkcionál, aminek aminek globális maximuma esetén adódik.

A két játékos optimális stratégiája a nyeregpontban van, vagyis a költségfüggvény inflexiós pontjában, ahol a szabályozó a lehető legjobb irányítást alkalmazza a legrosszabb szavarás feltételezése mellett.

Legyen ez a nyeregponti stratégia, amit az alábbi feltétel jellemez:

(599)

Tehát a optimális eljárás a legrosszabb esetre készül fel, ami egy konkrét zavarás esetén nem feltétlenül adja az arra a zavarásra optimális választ.

13.1. Véges horizontú FI feladat

A véges horizontú FI feladat a

(600)

költségfüggvény nyeregponti stratégiáját keresi, ahol a rendszer az alábbi formában adott:

(601)

A továbbiakban feltételezzük, hogy létezik ilyen nyeregpont.

Elöször rögzítsük -t és tekintsük jelet, ahol egy kis állandó. Jelölje a nyeregponti trajektóriát, vagyis

(602)

és legyen az által meghatározott trajektória, vagyis

(603)

Következik, hogy ahol kielégíti a

(604)

egyenletet, azaz ahol az -nak megfelelő alapmátrix.

Ekkor a perturbált költségfüggvény alakja

(605)

Mivel az első tag és

(606)

következik, hogy

(607)

Elég kis esetén a jobboldal negatív. Mivel adódik, hogy

(608)

Bevezetve az alábbi társváltozót

(609)

minden -ra, a következő feltétel adódik:

(610)

azaz a nyeregponti optimális irényítás

(611)

ahol .

A fenti gondolatmenetet megismételhetjük, hogy a legrosszabb zavarás egy jellemzését megkapjuk: rögzítsük -t és ahol . A perturbáló jel egy tetszőleges -beli függvény és egy tetszőleges állandó.

Eza perturbáció egy trajektórát generál, ahol és kielégíti az

(612)

egyenletet, azaz .

Ezt behelyettesítve -be kapjuk, hogy

(613)

vagyis minden esetén

(614)

A társváltozó segítségével a legrosszabb zavarás kifejezhető mint

(615)

ahol .

Mint ahogyan az optimális LQ irányításnál már láttuk, az optimális állapot és társváltozó kielégíti az alábbi peremérték feladatot:

(616)

(617)

(618)

mátrix a rendszerhez rendelt Hamiltonian mátrix. A társváltozó kifejezhető mint

(619)

ahol egy mátrixértékű függvény. Ekkor az optimális irányítás és a legrosszabb zavarás alakja

(620)

Várakozásunknak megfelelően megoldása egy mátrix Riccati differenciál egyenletnek:

(621)

Ennek az -nek a segítségével a költségfüggvény alakja

(622)

formában írható.

Bevezetve azt az rendszert ami -t a -be viszi, kapjuk, hogy

(623)

Ezzel következik, hogy

(624)

ahol . Így az optimális szabályozó kielégíti a

(625)

feltételt minden esetén, azaz bisztosítja, hogy .

13.2. Végtelen horizontú FI feladat

A esetben már látott módon a végtelen horizontú optimális irányítás alakja

(626)

ahol a

(627)

algebrai Riccati egyenlet pozitív definit megoldása amire aszimptotikusan stabilis.

A és eset közötti különbség az algebrai Riccati egyenlet alakjában nyilvánul meg. Míg a Riccati egyenletnek létezik stabilizáló megoldása, ha

(a) stablizálható,

(b) párnak nincsenek nem megfigyelhető módusai a képzetes tengelyen,

ez nem elégséges a Riccati egyenletre. A továbbiakban feltesszük, hogy ezek a szükséges feltételek fennállnak és a

(628)

Riccati differenciál egyenletnek vannak megoldásai minden -re, ahol a alakú

(629)

Riccati egyenlet megoldása.

Feltehetjük, hogy a véges horizontú feladatok költségfüggvényei

(630)

alakban írhatók, azaz a terminális kültség.

Legyen egy tetszőleges nemzérus kezdeti érték és tetszőleges -beli zavarás.Hogy kimutassuk egyenletes korlátosságát -ben, meg kell mutatnunk, hogylétezik amire minden esetén.

A linearitást felhasználva ahol és jelöli az és hatását -re.Mivel a szabályozó stabilizálja a rendszert, létezik amire .Mivel a szabályozó garantálja, hogy , létezik úgy, hogy . Következik, hogy

(631)

azaz,

(632)

minden és minden esetén.

Mivel

(633)

ahol

(634)

minden -re, következik, hogy

(635)

Mésrészt az optimális szabályozót használva esetén

(636)

Ezért

(637)

felhasználásával következik, hogy

(638)

minden jelre.

Ezen egyenlőtlenségek felhasználásával adódik, hogy

(639)

minden -re. Tehát egyenletesen korlátos -ben.

Az időinvariancia miatt , így létezik , hogy

(640)

amiből következik, hogy a differenciál Riccati egyenlet megoldásai egyenletesen korlátosak -ben.

A monotonitás kimutatásához tekintsük a Riccati egyenlet deriváltját

(641)

ami egy lineáris egyenlet, tehát

(642)

ahol az alapmátrixa. A Riccati egyenletből következik, hogy

(643)

vagyis, egy minoton nem növekvő függvény -ben.

Ahogyan a esetben is, az időinvarianciát felhasználva , vagyis egy monoton nem csökkenő függvénye -nek.

Ugyan így, , tehát határesetben

(644)

ahol egy konstans mátrix, amire , mivel minden esetén. Mivel a Riccati egyenlet megoldásai folytonosan függnek a peremfeltételektől

(645)

Ezért kielégíti a Riccati differencál egyenletet, ahol a peremfeltétel , azaz

(646)

Kimutattuk tehát, hogy az algebrai Riccati egyenlet megoldásának létezése szükséges a feltétel a FI szabnályozó létezéséhez, feltéve, hogy stabilizálható, párnak nincsenek nem-megfigyelhető módusai a képzetes tengelyen és a Riccati differenciál egyenleteknek van megoldása minden -re. Kimutatható, hogy ez utóbbi feltátel nem szükséges és a algebrai Riccati egyenlet stabilizáló megoldásának létezése ekvivalens azzal, hogy a Hamiltonian mátrixnak nincsenek sajátértékei a képzetes tengelyen.

A továbbiakban az eljárás követi a esetben már látottakat: alkalmazva az visszacsatolást, a zárt kör

(647)

(648)

Ki kell mutatni, hogy ez a rendszer stabil. A Riccati egyenletből kapjuk, hogy

(649)

Mivel , a minden instabik módusa nem megfigyelhető -re. Legyen az egy instabil módusa,

(650)

Következik, hogy

(651)

azaz, az -nak is egy módusa. De ez a mátrix stabilis, így összes módusa stabil és megfigyelhető.

Mivel asszimptotikusan stabilis, a KYP lemmából következik, hogy lemma that if and only létezik ami kielégíti az alábbi algebrai Riccati egyenletet:

(652)

ahol asszimptotikusan stabilis.Nyílvánvaló, hogy egy megoldás, így .

13.3. A OE feladat

Az FI feladat megoldását felhasználhatjuk az OE szűrési feladat megoldásának előállítására. A esetben felírt Kalman szűrővel analó módon képzelhetjük el a szűrőt: míg a Kalman szűrő az állapotbcslést négyzetes középben minimalizállja a Gauss eloszlású bemenetekre nézve, a szűrő a becslési hiba erősítését egy szintnél kisebbre garantálja minden lehetséges korlátos energiájú bemenet esetén.

A feladatnál már látott módon az OE rendszer alakja

(653)

ahol stabilis. Ekkor ha

(654)

ahol és kielégíti az alábbi algebraic Riccati egyenletet

(655)

13.4. Egyszerűsített kimenet visszacsatolásos feladat

Lemma 12.1 Egy rendszer esetén, ahol

(656)

akkor és csak akkor, ha ahol .

Bizonyítás 12.1 Az irányítással, ahol kielégíti a FI feladat algebrai Riccati egyenletét, , ahol a -ről -re vett átviteli függvény.

A véges horizontú feladatra

(657)

és

(658)

Legyen a jelet -re képző rendszer:

(659)

Ha , akkor létezik , hogy

(660)

azaz, .

Fordítva, ha , akkor

(661)

amiből következik, hogy .

Ebből az eredményből kiindulva írjul át az eredeti rendszert a esethez hasonlóan két rendszer, és , Redheffer szorzataként:

(662)

(663)

ahol

(664)

Mivel és a által generált jel , következik, hogy

(665)

ami a határesetben is igaz marad.

egy OE típusú feladatot határoz meg a hozzá tartozó

(666)

szabáltozóval, ahol és ahol és kielégíti az

(667)

algebrai Riccati egyenletet.

Figyeljük meg, hogy a esettel ellentétben a probléma két algebrai Riccati egyenlete nem független egymástól: -ben az mátrix az FI Riccati egyenlet megoldása.