4. fejezet - Rendszerek elemzése idő és frekvencia tartományban
Vissza		Előre

4. fejezet - Rendszerek elemzése idő és frekvencia tartományban

Tartalom

4.1. Időtartományi elemzés
4.2. Frekvencia tartományi elemzés

4.1. Időtartományi elemzés

Definíció 3.1 (Súlyfüggvény)

A bemenőjel -- kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk:

$δ (t) = {\begin{array}{l} \infty, h a t = 0, \\ 0, h a t \neq 0. \end{array}$

(196)

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük.

A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

$y (t) = \int_{0}^{t} δ (τ) u (t - τ) d τ .$

(197)

Definíció 3.2

A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is.

Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk:

$1 (t) = {\begin{array}{l} 1, h a t > 0, \\ 0, h a t < 0. \end{array}$

(198)

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük.

Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény:

$y (t) = \int_{0}^{t} 1 (τ) u (t - τ) d τ .$

(199)

A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény ( $u (t) = δ (t)$ ) Laplace transzformáltja: $U (s) = 1$ . Emiatt $Y (s) = G (s) U (s) = G (s)$ .

$y (t) = L^{- 1} [G (s)]$

(200)

Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény ( $u (t) = 1 (t)$ ) Laplace transzformáltja: $U (s) = \frac{1}{s}$ .Emiatt $Y (s) = G (s) U (s) = \frac{1}{s} G (s)$ .

$y (t) = L^{- 1} [\frac{1}{s} G (s)]$

(201)

Példa 3.1

Írjuk fel a 3.1 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét.

4.1. ábra - Lengőrendszer modellje

Az átviteli függvény Laplace transzformációval:

$G = \frac{c}{m s^{2} + k s + c} = \frac{\frac{c}{m}}{s^{2} + \frac{k}{m} s + \frac{c}{m}}$

(202)

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: $p_{1, 2} = - \frac{k}{2 m} \pm \sqrt{\frac{k^{2}}{4 m^{2}} - \frac{c}{m}} .$ Súlyfüggvény számítása

$w (t) = lim_{s \to p_{1}} (s - p_{1}) \frac{\frac{c}{m}}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} e^{s t}$

$+ lim_{s \to p_{2}} (s - p_{2}) \frac{\frac{c}{m}}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} e^{s t},$

$= \frac{\frac{c}{m}}{p_{1} - p_{2}} e^{p_{1} t} - \frac{\frac{c}{m}}{p_{1} - p_{2}} e^{p_{2} t} .$

(203)

Komplex pólusok esetén ( $p_{1} = α + i β$ és $p_{2} = α - i β$ ) további számítások szükségesek:

$w (t) = \frac{\frac{c}{m}}{2 i β} e^{α t} (e^{i β t} - e^{- i β t}) = \frac{c}{m β} e^{α t} s i n (β t)$

(204)

Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó $e^{ϕ t} = c o s ϕ + i s i n ϕ$ Euler összefüggést. Átmeneti függvény számítása:

$v (t) = lim_{s \to 0} s \frac{1}{s} \frac{\frac{c}{m}}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} e^{s t}$

$+ lim_{s \to p_{1}} (s - p_{1}) \frac{1}{s} \frac{\frac{c}{m}}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} e^{s t}$

$+ lim_{s \to p_{2}} (s - p_{2}) \frac{1}{s} \frac{\frac{c}{m}}{(s - p_{1}) (s - p_{2})} e^{s t}$

$= \frac{\frac{c}{m}}{p_{1} p_{2}} + \frac{\frac{c}{m}}{p_{1} (p_{1} - p_{2})} e^{p_{1} t} - \frac{\frac{c}{m}}{p_{2} (p_{1} - p_{2})} e^{p_{2} t}$

(205)

Komplex pólusok esetén ( $p_{1} = α + i β$ és $p_{2} = α - i β$ ) további számítások szükségesek:

$v (t) = \frac{\frac{c}{m}}{α^{2} + β^{2}} + \frac{\frac{c}{m}}{2 i β (α + i β)} e^{α t} e^{i β t} - \frac{\frac{c}{m}}{2 i β (α - i β)} e^{α t} e^{- i β t}$

$= \frac{\frac{c}{m}}{α^{2} + β^{2}} - \frac{\frac{c}{m}}{α^{2} + β^{2}} e^{α t} c o s β t + \frac{\frac{c}{m}}{α^{2} + β^{2}} \frac{α}{β} e^{α t} s i n β t .$

(206)

Komplex pólusok esete: az adatok: $m = 1 k g$ , $k = 1 \frac{N s}{m}$ , $c = 3 \frac{N}{m}$ .

Két komplex konjugált pólus van: a $p_{1} = - 0.5 + 1.65 i$ és $p_{2} = - 0.5 - 1.65 i$ . A súlyfüggvény és az átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

$w = 1.818 e^{- 0.5 t} s i n (1.65 t)$

(207)

$v = 1 - 0.3 e^{- 0.5 t} s i n (1.65 t) - e^{- 0.5 t} \cdot c o s (1.65 t)$

(208)

4.2. ábra - A 3.1 példa megoldása komplex pólusok esetén

Valós pólusok esetén az adatok: $m = 1 k g$ , $k = 4 \frac{N s}{m}$ , $c = 3 \frac{N}{m}$ .

Valós pólusai vannak: $p_{1} = - 3$ és $p_{2} = - 1$ . A súlyfüggvény és átviteli függvény a reziduum tétel alkalmazásával számítható:

$w = 1.5 e^{- t} - 1.5 e^{- 3 t}$

(209)

$v = 1 - 1.5 e^{- t} + 0.5 e^{- 3 t}$

(210)

4.3. ábra - A 3.1 példa megoldása valós pólusok esetén

4.2. Frekvencia tartományi elemzés

Egy rendszer frekvencia függvényének a rendszernek szinuszos bemenőjelre, állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.

4.4. ábra - Frekvencia függvény illusztrációja

Itt a bemenőjel egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel, amelynek körfrekvenciája $ω$ .

$u = s i n (ω t) .$

(211)

A kimenőjel:

$y = A (ω) s i n (ω t + φ (ω)) .$

(212)

Az $A (ω)$ függvényt amplitudó függvénynek, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást jelentő $φ (ω)$ függvényt pedig fázisfüggvénynek nevezzük, mindkettő a bemenőjel $ω$ körfrekvenciájától függ.

Az amplitudó függvény a $G (i ω)$ függvény abszolút értékeként kapható:

$A (ω) = | G (i ω) |,$

(213)

a fázisfüggvény pedig $G (i ω)$ fázisfüggvényeként:

$φ (ω) = arctan \frac{I m G (i ω)}{R e G (i ω)} .$

(214)

Legyen egy rendszer átviteli függvénye:

$G (s) = \frac{b}{s + a}$

(215)

A rendszer bemenete egy egységnyi amplitúdójú szinusz lefutású jel $ω$ körfrekvenciával: $u (t) = 1 \cdot s i n (ω t)$ .

A $L$ -transzformáció alkalmazásával vizsgáljuk meg a rendszer kimenőjelét.

$Y (s) = G (s) U (s) = \frac{b}{s + a} \cdot \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}}$

(216)

Időtartományba transzformálva:

$y (t) = lim_{s \to - a} (s + a) \frac{b ω}{(s + a) (s^{2} + ω^{2})} e^{s t}$

$+ lim_{s \to - i ω} (s + i ω) (\frac{b ω}{(s + a) (s + i ω) (s - i ω)} e^{s t}$

$+ lim_{s \to i ω} (s - i ω) \frac{b ω}{(s + a) (s + i ω) (s - i ω)} e^{s t} .$

(217)

Elvégezve a megfelelő határértékképzéseket:

$y (t) = \frac{b ω}{a^{2} + ω^{2}} e^{- a t} + \frac{b ω}{a^{2} + ω^{2}} \frac{a + i ω}{- 2 i ω} e^{- i ω t} + \frac{b ω}{a^{2} + ω^{2}} \frac{a - i ω}{2 i ω} e^{i ω t}$

(218)

Megjegyzés 3.1 Egy $z = a + i b$ komplex szám exponenciális alakja $z = A e^{i ϕ}$ ahol $A = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ és $ϕ = a r c t a n \frac{b}{a}$ .

Alkalmazva az összefüggést:

$a + i ω = \sqrt{a^{2} + ω^{2}} \cdot e^{i φ (ω)}, a - i ω = \sqrt{a^{2} + ω^{2}} \cdot e^{- i φ (ω)},$

(219)

ahol $φ (ω) = arctan \frac{ω}{a}$ .

$y (t) = \frac{b ω}{a^{2} + ω^{2}} e^{- a t} + \frac{b ω}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}} \frac{1}{2 i ω} (e^{i [ω t - φ (ω)]} - e^{- i [ω t - φ (ω)]})$

(220)

majd felhasználva az Euler-összefüggést ( $e^{i ϕ} - e^{- i ϕ} = 2 i sin ϕ$ ):

a kimenőjelre a következő adódik:

$y (t) = \frac{b ω}{a^{2} + ω^{2}} e^{- a t} + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}} sin [ω t - φ (ω)]$

(221)

A kimenőjel első tagja a tranziens időtartamában exponenciálisan nullához tart. Az állandósult állapotot a második tag határozza meg.

Az állandósult állapotra azt kapjuk, hogy

$y (t) = A (ω) sin (ω t - φ (ω)),$

(222)

ahol $A (ω) = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + ω^{2}}} .$ Állandósult állapotban tehát a rendszer egy adott körfrekvenciájú szinuszos lefolyású bemenőjelre egy szinuszos lefolyású kimenőjellel válaszol, amelynek amplitúdóját az $A (ω)$ függvény, a bemenőjel és a kimenőjel közötti fáziseltolást pedig a $φ (ω)$ függvény méri.

Definíció 3.3

Nyquist diagram A frekvencia függvény ábrázolásának egyik módja az, amikor az amplitudó függvényt mint vektort egy polár koordináta rendszerben ábrázoljuk a hozzátartozó $φ (ω)$ függvény segítségével, ahol az $A (ω)$ hosszúságú vektornak a pozitív valós tengellyel bezárt szöge épp a $φ (ω)$ szög. A frekvencia függvénynek ezt az ábrázolásmódját Nyquist -- diagramnak nevezzük.

Definíció 3.4

Bode diagram A frekvencia függvények egy másik ábrázolásmódja az, amikor az

$A (ω)$

(223)

amplitúdó függvényt a $log ω$ függvényében ábrázoljuk, decibelben. Ennek alapján a függőleges tengelyen $| G (i ω) | d B = 20 log | A (ω) |$ szerepel. Ebben az esetben a

$φ (ω)$

(224)

fázisfüggvényt külön diagramban, a $log ω$ függvényében ábrázoljuk. Ezt az ábrázolást a rendszer Bode -- diagramjának nevezzük.

Példa 3.2

A kéttárolós arányos tag (2TP) Nyquist diagramját a két különböző időállandójú egytárolós tag Nyquist diagramjának összeszorzásával kapjuk. (Az eredő vektor abszolút értéke a két vektor abszolút értékeinek szorzata, fázisszöge a két vektor fázisszögének összege.)

$G (i ω) = \frac{1}{1 + i ω 2 ξ T + {(i ω)}^{2} T^{2}} = \frac{1}{1 + i ω T_{1}} \cdot \frac{1}{1 + i ω T_{2}}$

(225)

$ξ > 1$ eset (valós pólusok):

$| G (i ω) | d B = 20 log | G_{1} (i ω) G_{2} (i ω) |$

$= 20 log | G_{1} (i ω) | + 20 log | G_{2} (i ω) |$

$= | G_{1} (i ω) | d B + | G_{2} (i ω) | d B$

(226)

$ϕ (ω) = ϕ_{1} (ω) + ϕ_{2} (ω)$

(227)

4.5. ábra - 2TP tag frekvencia diagramjai valós pólusok esetén

A frekvenciafüggvény két egytárolós tag frekvencia függvényének szorzataként írható fel. Mivel logaritmikus síkon a szorzásnak összeadás felel meg, a két egytárolós tag Bode diagramját összegezve kapjuk az eredő Bode diagramot.

Komplex pólusok esete: $ξ < 1$ eset (komplex pólusok):

$| G (i ω) | d B = 20 log | \frac{1}{1 + i ω 2 ξ T + {(i ω)}^{2} T^{2}} |$

$= - 20 | 1 + i ω 2 ξ T + {(i ω)}^{2} T^{2} |$

$= - 20 \sqrt{{(1 - ω^{2} T^{2})}^{2} + {(2 ξ T ω)}^{2}} d B$

(228)

Vizsgáljuk meg a jelleggörbe menetét:

$| G (i ω) | \approx (\begin{array}{l} 0 d B, & ha ω = \frac{1}{T} \\ - 20 \sqrt{4 ξ^{2}} = - 20 l o g 2 ξ d B, & ha ω \approx \frac{1}{T} \\ - 20 \sqrt{(ω^{4} T^{4})} = - 40 l o g ω T d B, & ha ω ? \frac{1}{T} . \end{array}$

(229)

Ha $ξ > 0.5$ a pontos görbe a közelítő egyenesek alatt fut, ha $ξ < 0.5$ a pontos görbe az egyenesek fölött halad, míg $ξ = 0.5$ esetén a pontos és a közelítő érték $ω = 1 / T$ -nél megegyezik.

$ξ < 1$ eset (komplex pólusok): A fázis görbe alakja ugyancsak a $ξ$ -től függ:

$ϕ (ω) \approx (\begin{array}{l} 0^{\circ}, & ha ω = \frac{1}{T} \\ - 90^{\circ}, & ha ω \approx \frac{1}{T} \\ - 180^{\circ}, & ha ω ? \frac{1}{T} . \end{array}$

(230)

4.6. ábra - 2TP tag frekvencia diagramjai komplex pólusok esetén

A 3.2 ábra $ξ$ változó különböző értékeinek hatását illusztrálja az amplitúdó és fázisgörbe függvényekben.

4.7. ábra - hatása a Bode diagramra

Példa 3.3

Tömeg, rugó és csillapító Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer frekvencia függvényét. A frekvencia függvény:

$G (i ω) = \frac{c}{m {(i ω)}^{2} + k (i ω) + c}$

(231)

Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: $p_{1, 2} = - \frac{k}{2 m} \pm \sqrt{\frac{k^{2}}{4 m^{2}} - \frac{c}{m}}$ . Frekvencia diagramok valós pólusok esetén: Adatok: $m = 1 k g$ , $k = 4 \frac{N s}{m}$ , $c = 3 \frac{N}{m}$ .

$G (i ω) = \frac{3}{(i ω + 1) (i ω + 3)} = \frac{1}{i ω + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} i ω + 1}$

(232)

Valós pólusai vannak: $p_{1} = - 3$ és $p_{2} = - 1$ . Időállandók: $T_{1} = 1$ és $T_{2} = \frac{1}{3}$ .

4.8. ábra - A 3.3 példa megoldása valós pólusok esetén

Frekvencia diagramok komplex pólusok esetén: A numerikus adatok: $m = 1 k g$ , $k = 1 \frac{N s}{m}$ , $c = 3 \frac{N}{m}$ .

$G (i ω) = \frac{1}{1 + i ω 2 ξ T + {(i ω)}^{2} T^{2}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3} i ω + \frac{1}{3} {(i ω)}^{2}}$

$= \frac{3}{(i ω + 0.5 + 1.65 i) (i ω + 0.5 - 1.65 i)}$

(233)

Két komplex konjugált pólus van: $p_{1} = - 0.5 \pm 1.65 i$ . Az időállandó és a csillapítási együttható: $T = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57 s$ és $ξ = \frac{1}{6} \approx 0.16 s$ .

4.9. ábra - A 3.3 példa megoldása komplex pólusok esetén

Vissza		Előre
3. fejezet - Rendszerek modellezése állapottérben	Főoldal	5. fejezet - Stabilitásvizsgálat